Verificar se a função \vec{g}(t)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1-\cos (t-\pi)}{t-\pi} \vec{i}+t^{2} \vec{j} ; & t \neq \pi \\\\ 2 \vec{i}+\pi^{2} \vec{j} ; & t=\pi\end{array}\right. é contínua em t=\pi.

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
\vec{g}(t)= \begin{cases} \displaystyle \frac{1-\cos(t-\pi)}{t-\pi}\,\vec{i}+t^{2}\,\vec{j},&t\neq\pi,\\[1em] 2\,\vec{i}+\pi^{2}\,\vec{j},&t=\pi, \end{cases}
e pede para verificar se ela é contínua em t=\pi. Para isso vamos usar que uma função vetorial é contínua se e somente se cada componente escalar for contínua.]

Passo 2

Separamos as componentes:
componente em \vec{i}:
a(t)=\frac{1-\cos(t-\pi)}{t-\pi},
componente em \vec{j}:
b(t)=t^{2}.
O valor no ponto t=\pi é a(\pi)=2 e b(\pi)=\pi^{2}.

Passo 3

Calculamos \displaystyle\lim_{t\to\pi}b(t). Como b(t)=t^{2} é uma função polinomial,
\lim_{t\to\pi}b(t)=\pi^{2},
que coincide com b(\pi)=\pi^{2}. Logo a componente em \vec{j} é contínua.

Passo 4

Agora calculamos
\lim_{t\to\pi}a(t) =\lim_{t\to\pi}\frac{1-\cos(t-\pi)}{t-\pi}.
Fazemos a mudança h=t-\pi, então h\to0 e a expressão fica
\lim_{h\to0}\frac{1-\cos h}{h}.
Usando desenvolvimento de Taylor ou L’Hôpital, sabe-se que
1-\cos h\sim\frac{h^{2}}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1-\cos h}{h}\sim\frac{h}{2}\to0.
Portanto
\lim_{t\to\pi}a(t)=0.

Passo 5

Comparando, temos
\lim_{t\to\pi}a(t)=0\neq 2=a(\pi).
Como a componente em \vec{i} não converge ao valor definido em t=\pi, a função vetorial \vec{g} não é contínua em t=\pi.

Resposta

A função \vec{g}(t) não é contínua em t=\pi.

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