Calcule as integrais de linha abaixo.
(a) integralC(y+z) d x+(x+z) d y+(x+y) d z ; C a fronteira de x^2+y^2=2 y, y=z.
(b) integralC x^3 d z ; C a fronteira da superfície z=y+4,1 <= x^2+y^2 <= 4.
© integralC y d x-x^2 d y+5 d z; C a fronteira da superfície r(u, v)=(u, v, 1-u^2), u >= 0, v >= 0
e u+v <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular três integrais de linha fechadas em R^3. O conteúdo principal envolve o reconhecimento de campos conservativos (ou cálculo de curl) e o uso do Teorema de Stokes para transformar integrais de linha em integrais de superfície que serão mais fáceis de avaliar.

Passo 2

Para o item (a), definimos o campo
P(x,y,z)=y+z, Q(x,y,z)=x+z, R(x,y,z)=x+y.
Calculamos o curl:
nabla times F=(Ry-Qz,;Pz-Rx,;Qx-Py)=(1-1,;1-1,;1-1)=(0,0,0)
Como o curl é nulo em toda a região e C é curva fechada, o campo é conservativo e a integral sobre C vale 0.

Passo 3

Para o item (b), temos apenas o termo x^3,dz. O contorno C é a borda do anel definido por 1<= x^2+y^2<=4 no plano z=y+4, ou seja, duas circunferências de raios 2 e 1. Parametrizamos cada círculo em projeção no plano xy por
rR(t)=(Rcos t,;Rsin t,;Rsin t+4), dz=Rcos t,dt,
com R=2 (orientação positiva t:0to2pi) e R=1 (orientação negativa, ou seja, subtrai-se a mesma integral). Logo,
integralC x^3,dz= integral0^2pi2^4cos^4t,dt-integral0^2pi1^4cos^4t,dt =15integral0^2picos^4t,dt =15cdot3pi4 =45pi4

Passo 4

Para o item ©, seja
F=(y,,-x^2,,5).
Calculamos o curl:
nabla times F=(0-0,;0-0,;-2x-1)=(0,0,-2x-1)
Parametrizamos a superfície
D:;u>=0,;v>=0,;u+v<=1
com ru=(1,0,-2u), rv=(0,1,0), rutimes rv=(2u,0,1) Então
integralCFcdot dr =integral duplaD(nablatimes F)cdot(rutimes rv),dudv =integral duplaD(-2u-1),dudv
Pelo Teorema de Stokes:
integral0^1integral0^1-u(-2u-1),dv,du =integral0^1(-2u-1)(1-u),du =integral0^1(2u^2-u-1),du =-56
Calculamos

Resposta

(a) 0;
(b) dfrac45pi4;
© -dfrac56.

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