Calcule as integrais de linha abaixo.
(a)
a fronteira de
.
(b)
a fronteira da superfície
.
©
;
a fronteira da superfície
e
.
(a)
(b)
©
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular três integrais de linha fechadas em
. O conteúdo principal envolve o reconhecimento de campos conservativos (ou cálculo de curl) e o uso do Teorema de Stokes para transformar integrais de linha em integrais de superfície que serão mais fáceis de avaliar.
Passo 2
Para o item (a), definimos o campo
P(x,y,z)=y+z, Q(x,y,z)=x+z, R(x,y,z)=x+y.
Calculamos o curl:
P(x,y,z)=y+z, Q(x,y,z)=x+z, R(x,y,z)=x+y.
Calculamos o curl:
Como o curl é nulo em toda a região e
é curva fechada, o campo é conservativo e a integral sobre
vale 0.
Passo 3
Para o item (b), temos apenas o termo
. O contorno
é a borda do anel definido por
no plano
, ou seja, duas circunferências de raios 2 e 1. Parametrizamos cada círculo em projeção no plano xy por
com
(orientação positiva
) e
(orientação negativa, ou seja, subtrai-se a mesma integral). Logo,
Passo 4
Para o item ©, seja
.
Calculamos o curl:
Calculamos o curl:
Parametrizamos a superfície
com Então
com
Pelo Teorema de Stokes:
Calculamos
Resposta
(a)
;
(b) ;
© .
(b)
©