Resolva o PVI:
x^prime+(10-N) x=2 e^4 t, x(0)=0

Passo 1

A gente tem o PVI x' + (10 - N)x = 2e^4t, com x(0)=0 O conteúdo é EDO linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calcule o fator integrante mu(t):
mu(t) = e^integral (10 - N),dt = e^(10 - N)t
Multiplicando a equação original por mu(t), obtemos
ddtl(e^(10 - N)txr) = 2e^4te^(10 - N)t

Passo 3

Integramos ambos os lados. Para N neq 14 temos
integral 2e^(10 - N + 4)t,dt = integral 2e^(14 - N)t,dt = 214 - Ne^(14 - N)t + C
Logo a solução geral é
x(t) = e^-(10-N)tl(214 - Ne^(14 - N)t + Cr) = 214 - Ne^4t + C e^-(10 - N)t

Passo 4

Aplicando x(0)=0 para N neq 14:
0 = x(0) = 214 - N + C Rightarrow C = -214 - N
Assim
x(t) = 214 - Nl(e^4t - e^-(10 - N)tr), N neq 14

Passo 5

Para N = 14 o expoente na integral fica zero, então
ddtl(e^-4txr) = 2e^4te^-4t = 2
Integrando: e^-4tx = 2t + C, ou seja x(t) = e^4t(2t + C). Com x(0)=0 vem C=0 e
x(t) = 2t e^4t, N = 14

Resposta

x(t) = 214 - Nl(e^4t - e^-(10 - N)tr), & N neq 14,[6pt] 2t e^4t, & N = 14

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