Seja F(x, y, z)=(3 x-e^y-z, 2 y+e^Phi-z, z).
(a) Mostre que integral duplaSl F cdot n d S=0, onde S1 é a região do plano z=0 delimitada pela curva de equaçāo x^2+y^2=4, com normal n apontando para baixo.
(b) Use o teorema de Gauss para calcular o fluxo de F através da superfície S2 de equaçāo z=4-x^2-y^2 e z >= 0, com normal n apontando no sentido de afastamento da origem.

Passo 1

Estamos lidando com o campo vetorial vec F(x,y,z)=(3x - e^y-z,,2y + e^Phi-z,,z), a superfície plana S1 dada por z=0 sobre o disco x^2+y^2<=4 com normal para baixo e a superfície paraboloidal S2 definida por z=4 - x^2 - y^2, z>=0, com normal apontando para fora. Vamos precisar aplicar definição de fluxo, teorema de Gauss e cálculo de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Para S1, na reta z=0 o vetor normal unitário apontando para baixo é vec n=-hat k. Nesse plano, vec F=(3x - e^y,,2y + e^Phi,,0). Logo
blockMath_begin\n\vec F\cdot\vec n = -F_z = -0 = 0\nblockMath_end
Como vec Fcdotvec n=0 em todo S1, o fluxo é
blockMath_begin\n\iint_{S_1}\vec F\cdot\vec n,dS=0\nblockMath_end

Passo 3

Pelo teorema de Gauss, o fluxo total pelo fechamento S=S1cup S2 é
blockMath_begin\n\iint_{S_1}\vec F\cdot d\vec S + \iint_{S_2}\vec F\cdot d\vec S = \iiint_V(\nabla\cdot\vec F),dV\nblockMath_end
Cálculo da divergência:
blockMath_begin\n\nabla\cdot\vec F = \frac{\partial}{\partial x}(3x - e^{y-z}) + \frac{\partial}{\partial y}(2y + e^{\Phi-z}) + \frac{\partial}{\partial z}(z) = 3 + 2 + 1 = 6\nblockMath_end

Passo 4

O volume de V (a região abaixo de z=4-r^2 e acima de z=0) em coordenadas cilíndricas é
blockMath_begin\n V&=integral0^2piintegral0^2(4 - r^2),r,dr,dtheta = 2piintegral0^2(4r - r^3),dr &=2pil[2r^2 - tfracr^44r]0^2 =2pi(8 -4)=8pi\nblockMath_end

Passo 5

Finalmente, como o fluxo em S1 é zero,
blockMath_begin\n\iint_{S_2}\vec F\cdot d\vec S = \iiint_V6,dV =6\times8\pi=48\pi\nblockMath_end

Resposta

(a) 0; (b) 48pi.

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