Seja
.
(a) Mostre que
, onde
é a região do plano
delimitada pela curva de equaçāo
, com normal
apontando para baixo.
(b) Use o teorema de Gauss para calcular o fluxo de
através da superfície
de equaçāo
e
, com normal
apontando no sentido de afastamento da origem.
(a) Mostre que
(b) Use o teorema de Gauss para calcular o fluxo de
Passo 1
Estamos lidando com o campo vetorial
, a superfície plana
dada por
sobre o disco
com normal para baixo e a superfície paraboloidal
definida por
,
, com normal apontando para fora. Vamos precisar aplicar definição de fluxo, teorema de Gauss e cálculo de volume em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Para
, na reta
o vetor normal unitário apontando para baixo é
. Nesse plano,
. Logo
blockMath_begin\n\vec F\cdot\vec n = -F_z = -0 = 0\nblockMath_end
Como em todo
, o fluxo é
blockMath_begin\n\iint_{S_1}\vec F\cdot\vec n,dS=0\nblockMath_end
blockMath_begin\n\vec F\cdot\vec n = -F_z = -0 = 0\nblockMath_end
Como
blockMath_begin\n\iint_{S_1}\vec F\cdot\vec n,dS=0\nblockMath_end
Passo 3
Pelo teorema de Gauss, o fluxo total pelo fechamento
é
blockMath_begin\n\iint_{S_1}\vec F\cdot d\vec S + \iint_{S_2}\vec F\cdot d\vec S = \iiint_V(\nabla\cdot\vec F),dV\nblockMath_end
Cálculo da divergência:
blockMath_begin\n\nabla\cdot\vec F = \frac{\partial}{\partial x}(3x - e^{y-z}) + \frac{\partial}{\partial y}(2y + e^{\Phi-z}) + \frac{\partial}{\partial z}(z) = 3 + 2 + 1 = 6\nblockMath_end
blockMath_begin\n\iint_{S_1}\vec F\cdot d\vec S + \iint_{S_2}\vec F\cdot d\vec S = \iiint_V(\nabla\cdot\vec F),dV\nblockMath_end
Cálculo da divergência:
blockMath_begin\n\nabla\cdot\vec F = \frac{\partial}{\partial x}(3x - e^{y-z}) + \frac{\partial}{\partial y}(2y + e^{\Phi-z}) + \frac{\partial}{\partial z}(z) = 3 + 2 + 1 = 6\nblockMath_end
Passo 4
O volume de
(a região abaixo de
e acima de
) em coordenadas cilíndricas é
blockMath_begin\n \nblockMath_end
blockMath_begin\n
Passo 5
Finalmente, como o fluxo em
é zero,
blockMath_begin\n\iint_{S_2}\vec F\cdot d\vec S = \iiint_V6,dV =6\times8\pi=48\pi\nblockMath_end
blockMath_begin\n\iint_{S_2}\vec F\cdot d\vec S = \iiint_V6,dV =6\times8\pi=48\pi\nblockMath_end
Resposta
(a) 0; (b)
.