Usando a convolução, calcule a transformada inversa das seguintes funções:
g) mathscrL^-1[1s^2-2 s+1]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa mathscrL^-1[tfrac1s^2-2s+1] usando a propriedade da convolução, que permite inverter produtos no domínio de s. Vamos usar completamento de quadrado, a tabela de transformadas e o teorema da convolução.

Passo 2

Observe que s^2 - 2s + 1 é um quadrado perfeito. Fazendo completamento de quadrado temos:
s^2 - 2s + 1 = (s - 1)^2

Passo 3

Isso nos permite reescrever a função em s como um produto:
1s^2 - 2s + 1 = 1(s-1)^2 = 1s-1 cdot 1s-1

Passo 4

Pela tabela de transformadas, sabemos que
mathscrL^-1l[tfrac1s-1r] = e^t

Passo 5

E o teorema da convolução diz que se F(s)=mathscrLf(t) e G(s)=mathscrLg(t), então
mathscrL^-1[F(s)G(s)] = (f * g)(t) = integral0^t f(t-tau),g(tau),dtau

Passo 6

Aqui temos f(t)=e^t e g(t)=e^t, logo a transformada inversa é
(f*g)(t) = integral0^t e^t-tau ; e^tau ,dtau

Passo 7

No integrando, e^t-taue^tau = e^t é constante em relação a tau, então
integral0^t e^t ,dtau = e^t integral0^t dtau = t,e^t

Resposta

t e^t

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