Usando a convolução, calcule a transformada inversa das seguintes funções:
i) mathscrL^-1[1(s^2+1)(s^2+4)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace da função usando convolução. Aqui, estamos lidando com transformadas de Laplace e um pouco de cálculo de integrais. Vamos precisar entender um pouco sobre convolução e transformadas inversas para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a convolução no domínio do tempo corresponde à multiplicação no domínio de Laplace. Ou seja, se temos duas funções no domínio de Laplace multiplicadas, a transformada inversa delas será a convolução das transformadas inversas individuais.
Então, vamos separar a função dada em duas partes:
1(s^2 + 1)(s^2 + 4) = 1s^2 + 1 cdot 1s^2 + 4

Passo 3

Agora, vamos achar a transformada inversa de cada uma dessas partes separadamente.
Sabemos que:
mathscrL^-1[1s^2 + a^2] = 1a sin(at)
Aplicando isso:
Para mathscrL^-1[1s^2 + 1] = sin(t) :
mathscrL^-1[1s^2 + 4] = 12 sin(2t)
Para :

Passo 4

Agora, como temos a multiplicação das duas funções no domínio de Laplace, no domínio do tempo isso se transforma em uma convolução. A convolução de duas funções (f * g)(t) = integral0^t f(tau) cdot g(t - tau) , dtau e (sin(t) * 12sin(2t))(t) = 12 integral0^t sin(tau) cdot sin(2(t - tau)) , dtau é dada por:
Aplicando isso às nossas funções:

Passo 5

Vamos resolver essa integral. Utilizando a identidade trigonométrica:
sin A sin B = 12 [cos(A - B) - cos(A + B)]
Aplicando isso na integral:
12 integral0^t sin(tau) sin(2(t - tau)) , dtau = 14 integral0^t [cos(tau - 2(t - tau)) - cos(tau + 2(t - tau))] , dtau
= 14 integral0^t [cos(3tau - 2t) - cos(-tau + 2t)] , dtau
= 14 [ sin(3tau - 2t)3 - sin(-tau + 2t)-1 ]0^t
= 14 ( sin(t)3 + sin(t) )
= 14 cdot 4sin(t)3
= sin(t)3

Resposta

A transformada inversa de mathscrL^-1[1(s^2 + 1)(s^2 + 4)] = sin(t) - sin(2t)3 é .

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