Usando a convolução, calcule a transformada inversa das seguintes funções:
i)
i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace da função
usando convolução. Aqui, estamos lidando com transformadas de Laplace e um pouco de cálculo de integrais. Vamos precisar entender um pouco sobre convolução e transformadas inversas para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a convolução no domínio do tempo corresponde à multiplicação no domínio de Laplace. Ou seja, se temos duas funções no domínio de Laplace multiplicadas, a transformada inversa delas será a convolução das transformadas inversas individuais.
Então, vamos separar a função dada em duas partes:
Passo 3
Agora, vamos achar a transformada inversa de cada uma dessas partes separadamente.
Sabemos que:
Aplicando isso:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, como temos a multiplicação das duas funções no domínio de Laplace, no domínio do tempo isso se transforma em uma convolução. A convolução de duas funções
e
é dada por:
Aplicando isso às nossas funções:
Passo 5
Vamos resolver essa integral. Utilizando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na integral:
Resposta
A transformada inversa de
é
.