Calcule as integrais de linha dadas abaixo:
\int_{\gamma} F \operatorname{com} F(x, y)=\left(\frac{-y}{4 x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{4 x^{2}+y^{2}}\right), \gamma: 4 x^{2}+y^{2}=9 .

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá o campo vetorial \displaystyle F(x,y)=\left(\dfrac{-y}{4x^{2}+y^{2}},\;\dfrac{x}{4x^{2}+y^{2}}\right).
  • Dá a curva fechada \gamma definida por \displaystyle 4x^{2}+y^{2}=9 (uma elipse centrada na origem).
  • Pede calcular a integral de linha \displaystyle \int_{\gamma} F\cdot d\mathbf{r} ao longo dessa curva.
    Observações importantes (retiradas diretamente do enunciado):
  • A curva \gamma é fechada e o denominador em F coincide com a expressão da curva, portanto em qualquer ponto da curva 4x^{2}+y^{2}=9 o denominador vale 9.
  • O enunciado não especifica a orientação; vou assumir a orientação positiva (anti-horária). Se a orientação fosse a oposta, o sinal da resposta mudaria de sinal.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (didática):
  • Uma forma direta e segura é parametrizar a elipse e calcular a integral por substituição. Isso evita problemas de regularidade do campo no interior (o campo tem singularidade em (0,0)), que tornariam a aplicação direta do Teorema de Green menos trivial.
  • Regra prática para parametrizar uma elipse do tipo \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1: usar x=a\cos t,\;y=b\sin t,\;t\in[0,2\pi]. Aqui a elipse é \dfrac{x^{2}}{(3/2)^{2}}+\dfrac{y^{2}}{3^{2}}=1, logo a=\tfrac{3}{2} e b=3.

Passo 3

Parametrização explícita e cálculo das derivadas:
  • Parametrização escolhida (orientação anti-horária):
\begin{cases} x(t)=\dfrac{3}{2}\cos t,\\[4pt] y(t)=3\sin t, \end{cases}\qquad t\in[0,2\pi].
  • Derivadas em relação a t:
\begin{cases} \dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{3}{2}\sin t,\\[4pt] \dfrac{dy}{dt}=3\cos t. \end{cases}]

Passo 4

Expressar F ao longo da curva e montar o produto escalar F\cdot \mathbf{r}'(t):
  • Como na curva vale 4x^{2}+y^{2}=9, o denominador de F ao longo da curva é exatamente 9. Logo, em pontos da curva
F(x(t),y(t))=\left(\dfrac{-y(t)}{9},\;\dfrac{x(t)}{9}\right).
  • O elemento \mathbf{r}'(t)=(dx/dt,dy/dt). Portanto o integrando é
F\big(x(t),y(t)\big)\cdot \mathbf{r}'(t) = \dfrac{-y(t)}{9}\cdot \dfrac{dx}{dt} \;+\; \dfrac{x(t)}{9}\cdot \dfrac{dy}{dt}.

Passo 5

Substituir x(t),y(t),dx/dt,dy/dt e simplificar cuidadosamente (passo a passo):
  • Substituindo x(t)=\dfrac{3}{2}\cos t, y(t)=3\sin t, \dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{3}{2}\sin t, \dfrac{dy}{dt}=3\cos t,
\begin{aligned} F\cdot \mathbf{r}'(t) &= \dfrac{-\big(3\sin t\big)}{9}\cdot\Big(-\dfrac{3}{2}\sin t\Big) + \dfrac{\big(\tfrac{3}{2}\cos t\big)}{9}\cdot\big(3\cos t\big)\\[6pt] &= \Big(-\dfrac{3}{9}\sin t\Big)\Big(-\dfrac{3}{2}\sin t\Big) + \Big(\dfrac{3/2}{9}\cos t\Big)\big(3\cos t\big). \end{aligned}
  • Simplificando coeficientes:
-\dfrac{3}{9}=-\dfrac{1}{3},\qquad -\dfrac{1}{3}\cdot\Big(-\dfrac{3}{2}\Big)=\dfrac{1}{2},
logo o primeiro termo vira \dfrac{1}{2}\sin^{2}t.
\dfrac{3/2}{9}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{6},\qquad \dfrac{1}{6}\cdot 3=\dfrac{1}{2},
logo o segundo termo vira \dfrac{1}{2}\cos^{2}t.
  • Somando os dois termos:
F\cdot \mathbf{r}'(t)=\dfrac{1}{2}\sin^{2}t+\dfrac{1}{2}\cos^{2}t=\dfrac{1}{2}\big(\sin^{2}t+\cos^{2}t\big)=\dfrac{1}{2}.]

Passo 6

Integrar em t de 0 a 2\pi:
  • A integral de linha é
\int_{\gamma}F\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{2\pi} F\big(x(t),y(t)\big)\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt =\int_{0}^{2\pi}\dfrac{1}{2}\,dt=\dfrac{1}{2}\big[ t\big]_{0}^{2\pi}=\dfrac{1}{2}\cdot 2\pi=\pi.

Passo 7

Comentários finais e verificação intuitiva:
  • Resultado obtido: \pi para orientação anti-horária.
  • Observação: uma outra visão é notar que ao longo da curva F=(1/9)(-y,x), então \int_{\gamma}F\cdot d\mathbf{r}=(1/9)\int_{\gamma}(x\,dy-y\,dx). Para curvas simples e orientadas positivamente vale \int_{\gamma}(x\,dy-y\,dx)=2\cdot\mathrm{Área}(\text{região})Áã. A área da elipse é \pi a b=\pi\cdot \tfrac{3}{2}\cdot 3=\tfrac{9}{2}\pi, e (1/9)\cdot 2\cdot \tfrac{9}{2}\pi=\pi, confirmando o resultado. (Nota: usar Green diretamente exige cuidado porque o campo não está definido no interior da elipse em (0,0); a parametrização evita essa sutileza.)

Resposta

\pi

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