Calcule as integrais de linha dadas abaixo: \int_{\gamma} F \operatorname{com} F(x, y)=\left(\frac{-y}{4 x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{4 x^{2}+y^{2}}\right), \gamma: 4 x^{2}+y^{2}=9 .
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Dá o campo vetorial \displaystyle F(x,y)=\left(\dfrac{-y}{4x^{2}+y^{2}},\;\dfrac{x}{4x^{2}+y^{2}}\right).
Dá a curva fechada \gamma definida por \displaystyle 4x^{2}+y^{2}=9 (uma elipse centrada na origem).
Pede calcular a integral de linha \displaystyle \int_{\gamma} F\cdot d\mathbf{r} ao longo dessa curva.
Observações importantes (retiradas diretamente do enunciado):
A curva \gamma é fechada e o denominador em F coincide com a expressão da curva, portanto em qualquer ponto da curva 4x^{2}+y^{2}=9 o denominador vale 9.
O enunciado não especifica a orientação; vou assumir a orientação positiva (anti-horária). Se a orientação fosse a oposta, o sinal da resposta mudaria de sinal.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (didática):
Uma forma direta e segura é parametrizar a elipse e calcular a integral por substituição. Isso evita problemas de regularidade do campo no interior (o campo tem singularidade em (0,0)), que tornariam a aplicação direta do Teorema de Green menos trivial.
Regra prática para parametrizar uma elipse do tipo \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1: usar x=a\cos t,\;y=b\sin t,\;t\in[0,2\pi]. Aqui a elipse é \dfrac{x^{2}}{(3/2)^{2}}+\dfrac{y^{2}}{3^{2}}=1, logo a=\tfrac{3}{2} e b=3.
Resultado obtido: \pi para orientação anti-horária.
Observação: uma outra visão é notar que ao longo da curva F=(1/9)(-y,x), então \int_{\gamma}F\cdot d\mathbf{r}=(1/9)\int_{\gamma}(x\,dy-y\,dx). Para curvas simples e orientadas positivamente vale \int_{\gamma}(x\,dy-y\,dx)=2\cdot\mathrm{Área}(\text{região})Áã. A área da elipse é \pi a b=\pi\cdot \tfrac{3}{2}\cdot 3=\tfrac{9}{2}\pi, e (1/9)\cdot 2\cdot \tfrac{9}{2}\pi=\pi, confirmando o resultado. (Nota: usar Green diretamente exige cuidado porque o campo não está definido no interior da elipse em (0,0); a parametrização evita essa sutileza.)