Exercício 3) Calcule as integrais de linha dadas abaixo:
\int_{\gamma}\left(2 x y^{2}-y^{3}\right) d x+\left(2 x^{2} y-3 x y^{2}+2\right) d y e \gamma é uma curva qualquer ligando P=(-3,-1) até Q=(1,2) .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma}\bigl(2xy^{2}-y^{3}\bigr)\,dx+\bigl(2x^{2}y-3xy^{2}+2\bigr)\,dy,
onde \gamma é uma curva qualquer que liga P=(-3,-1) a Q=(1,2).
Informações dadas:
  • A forma diferencial tem as componentes M(x,y)=2xy^{2}-y^{3}, \qquad N(x,y)=2x^{2}y-3xy^{2}+2.
  • O caminho \gamma pode ser qualquer curva que una P a Q (ou seja, só os extremos importam se a forma for exata).
  • A pergunta é: qual é o valor da integral de linha entre esses pontos?

Passo 2

Ideia a usar (explicação didática): se a forma diferencial M\,dx+N\,dy for exata em uma região que contenha o segmento que liga P a Q (por exemplo, se for exata em todo \mathbb{R}^{2}), então existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=M(x,y), \qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=N(x,y),
e a integral de linha depende apenas dos extremos:
\int_{\gamma}M\,dx+N\,dy=\varphi(Q)-\varphi(P).
Critério prático para verificar exatidão (em domínio simplesmente conectado, como \mathbb{R}^{2}): calcular \dfrac{\partial M}{\partial y} e \dfrac{\partial N}{\partial x} e ver se são iguais.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy^{2}-y^{3}\bigr) = 4xy-3y^{2},
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}y-3xy^{2}+2\bigr) = 4xy-3y^{2}.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x} para todos (x,y), a forma é exata em \mathbb{R}^{2}. Logo a integral é independente do caminho e pode ser obtida por uma função potencial \varphi.

Passo 3

Vamos encontrar a função potencial \varphi(x,y). Começamos integrando M em relação a x (tratando y como constante):
\varphi(x,y)=\int M(x,y)\,dx = \int \bigl(2xy^{2}-y^{3}\bigr)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int 2xy^{2}\,dx = x^{2}y^{2}, \qquad \int (-y^{3})\,dx = -x y^{3}.
Ao integrar em x aparece uma “constante” que pode depender de y; escrevemos
\varphi(x,y)=x^{2}y^{2}-x y^{3}+h(y),
onde h(y) é alguma função a determinar.

Passo 4

Agora impomos a condição \dfrac{\partial\varphi}{\partial y}=N(x,y) para encontrar h(y).
Calculemos \phi_{y}:
\frac{\partial\varphi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{2}-x y^{3}+h(y)\bigr) = 2x^{2}y-3x y^{2}+h'(y).
Devemos ter \phi_{y}=N, isto é
2x^{2}y-3x y^{2}+h'(y)=2x^{2}y-3x y^{2}+2.
Comparando os termos, obtemos
h'(y)=2.
Integrando em y,
h(y)=2y+C,
onde C é constante arbitrária. Assim uma função potencial é
\varphi(x,y)=x^{2}y^{2}-x y^{3}+2y+C.

Passo 5

Como a integral é independente do caminho, vale
\int_{\gamma}M\,dx+N\,dy=\varphi(Q)-\varphi(P).
Avaliamo-s \varphi nos pontos dados (notando que a constante C vai cancelar):
  • Em Q=(1,2): \varphi(1,2)=1^{2}\cdot2^{2}-1\cdot2^{3}+2\cdot2+C =4-8+4+C=C.
  • Em P=(-3,-1): \varphi(-3,-1)=(-3)^{2}\cdot(-1)^{2}-(-3)\cdot(-1)^{3}+2\cdot(-1)+C =9-3-2+C=4+C.
Portanto a integral é \varphi(Q)-\varphi(P).

Resposta

-4

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