Exercício 3) Calcule as integrais de linha dadas abaixo:
e
é uma curva qualquer ligando
até
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é uma curva qualquer que liga
a
.
Informações dadas:
- A forma diferencial tem as componentes
- O caminho
pode ser qualquer curva que una a (ou seja, só os extremos importam se a forma for exata). - A pergunta é: qual é o valor da integral de linha entre esses pontos?
Passo 2
Ideia a usar (explicação didática): se a forma diferencial
for exata em uma região que contenha o segmento que liga
a
(por exemplo, se for exata em todo
), então existe uma função potencial
tal que
e a integral de linha depende apenas dos extremos:
Critério prático para verificar exatidão (em domínio simplesmente conectado, como
): calcular
e
e ver se são iguais.
Calculemos as derivadas parciais:
Como
para todos
, a forma é exata em
. Logo a integral é independente do caminho e pode ser obtida por uma função potencial
.
Passo 3
Vamos encontrar a função potencial
. Começamos integrando
em relação a
(tratando
como constante):
Integramos termo a termo:
Ao integrar em
aparece uma “constante” que pode depender de
; escrevemos
onde
é alguma função a determinar.
Passo 4
Agora impomos a condição
para encontrar
.
Calculemos
:
Devemos ter
, isto é
Comparando os termos, obtemos
Integrando em
,
onde
é constante arbitrária. Assim uma função potencial é
Passo 5
Como a integral é independente do caminho, vale
Avaliamo-s
nos pontos dados (notando que a constante
vai cancelar):
- Em
: - Em
:
Portanto a integral é
.