Calcule as integrais de linha dadas abaixo:
\int_{\gamma}(2 x y z) d x+\left(x^{2} z+y\right) d y+\left(x^{2} y+3 z^{2}\right) d z com \gamma=S_{1} \cap S_{2}, no primeiro octante, S_{1}: x^{2}+z^{2}=1 e S_{2}: y=1 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\displaystyle \int_{\gamma} (2 x y z)\,dx + (x^{2} z + y)\,dy + (x^{2} y + 3 z^{2})\,dz,
onde \gamma = S_{1}\cap S_{2} no primeiro octante, com
\,S_{1}: x^{2}+z^{2}=1\, e \,S_{2}: y=1\,.
Informações dadas e observações (tiradas diretamente do enunciado):
  • A curva \gamma é a interseção do cilindro \,x^{2}+z^{2}=1\, com o plano \,y=1\,, limitada ao primeiro octante, ou seja, com x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0.
  • Isso significa que \gamma é o arco do círculo de raio 1 no plano y=1 que vai de (1,1,0) até (0,1,1) (o quarto de círculo com 0\le\theta\le\pi/2 no plano x\!-\!z).
  • A integral pedida é de uma forma linear P\,dx+Q\,dy+R\,dz com
    \,P(x,y,z)=2xyz, \,Q(x,y,z)=x^{2}z+y, \,R(x,y,z)=x^{2}y+3z^{2}.
    A pergunta concreta: calcular o valor numérico da integral de linha ao longo desse arco \gamma. (A orientação da curva não foi dada; na resolução vou parametrizar com \theta crescente de 0 a \pi/2, o que vai de (1,1,0) para (0,1,1).)

Passo 2

Estratégia escolhida (explicando por que): é muito útil verificar se o campo vetorial associado à forma é conservativo (ou seja, gradiente de uma função potencial). Se for conservativo, a integral de linha entre dois pontos depende só dos extremos e não do caminho, então a integral ao longo do arco é simplesmente f(\text{fim})-f(\text{início})í. Verificar conservatividade é direto: comparar derivadas parciais (o “rotacional” deve ser nulo). Vou calcular as derivadas parciais necessárias e mostrar que o campo é conservativo.
Cálculo das derivadas parciais:
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xyz)=2xz.
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}z+y)=2xz.
    Portanto \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(2xyz)=2xy.
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y+3z^{2})=2xy.
    Portanto \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x}.
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}z+y)=x^{2}.
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y+3z^{2})=x^{2}.
    Portanto \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}.
Como todas essas igualdades valem, o rotacional é zero e o campo é conservativo (em \mathbb{R}^{3}, domínio simplesmente conectado). Logo existe uma função potencial f(x,y,z) tal que \nabla f=(P,Q,R).

Passo 3

Encontrar a função potencial f passo a passo (a ideia: integrar uma componente e ir ajustando as “constantes” que são funções das outras variáveis).
  • Começar por integrar P=\dfrac{\partial f}{\partial x}=2xyz em relação a x:
    \text{Integrando:}\qquad f(x,y,z)=\int 2xyz\,dx = x^{2} y z + g(y,z),
    onde g(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.
  • Agora impomos que \dfrac{\partial f}{\partial y}=Q=x^{2}z+y.
    Calcule \dfrac{\partial f}{\partial y} a partir da expressão encontrada:
    \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}z + \frac{\partial g}{\partial y}.
    Igualando a Q obtemos
    x^{2}z + \frac{\partial g}{\partial y} = x^{2}z + y \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=y.
    Integrando em y:
    g(y,z)=\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2} + h(z),
    onde h(z) é outra “constante” (agora dependente só de z).
  • Finalmente usamos \dfrac{\partial f}{\partial z}=R=x^{2}y+3z^{2}.
    A partir de f(x,y,z)=x^{2}yz+\dfrac{y^{2}}{2}+h(z) temos
    \frac{\partial f}{\partial z}=x^{2}y + h'(z).
    Igualando a R
    x^{2}y + h'(z) = x^{2}y + 3z^{2} \quad\Rightarrow\quad h'(z)=3z^{2}.
    Integrando em z:
    h(z)=\int 3z^{2}\,dz = z^{3} + C,
    onde C é constante real irrelevante para a integral de linha (cancela na diferença).
Assim a potencial encontrada é
f(x,y,z)=x^{2} y z + \frac{y^{2}}{2} + z^{3} + C.
Podemos tomar C=0 para simplificar.

Passo 4

Parametrização de \gamma (detalhe do arco no primeiro octante) e identificação dos extremos:
  • No plano y=1 e com x^{2}+z^{2}=1, uma parametrização natural é x(\theta)=\cos\theta,\qquad z(\theta)=\sin\theta,\qquad y(\theta)=1,com \theta variando de 0 a \pi/2 para cobrir o segmento do círculo no primeiro octante (isso vai de (1,1,0) em \theta=0 até (0,1,1) em \theta=\pi/2). Estou escolhendo a orientação com \theta crescente; se a orientação fosse a inversa, o sinal da integral seria trocado.
Extremos:
  • ponto inicial: (x,y,z)=(1,1,0).
  • ponto final: (x,y,z)=(0,1,1).

Passo 5

Aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos conservativos:
  • Como \mathbf{F}=\nabla f, a integral de linha ao longo de \gamma (na orientação escolhida do passo anterior) vale \int_{\gamma} P\,dx+Q\,dy+R\,dz = f\bigl(\text{ponto final}\bigr) - f\bigl(\text{ponto inicial}\bigr).
  • Calcular f nos extremos (usando f(x,y,z)=x^{2} y z + \dfrac{y^{2}}{2} + z^{3}):
    • No ponto inicial (1,1,0): f(1,1,0)=1^{2}\cdot 1\cdot 0 + \frac{1^{2}}{2} + 0^{3} = \frac{1}{2}.
    • No ponto final (0,1,1): f(0,1,1)=0^{2}\cdot 1\cdot 1 + \frac{1^{2}}{2} + 1^{3} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}.
  • Portanto a integral é \int_{\gamma} (2 x y z)\,dx + (x^{2} z + y)\,dy + (x^{2} y + 3 z^{2})\,dz = f(0,1,1)-f(1,1,0)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1.
Observação final curta: se alguém tivesse escolhido a orientação contrária (de (0,1,1) para (1,1,0)), o valor seria -1. Mas com a parametrização padrão \theta\in[0,\pi/2] (aumentando), o valor é 1.

Resposta

1

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