Calcule as integrais de linha dadas abaixo:
com
, no primeiro octante,
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
,
onde no primeiro octante, com
e
.
Informações dadas e observações (tiradas diretamente do enunciado):
onde
Informações dadas e observações (tiradas diretamente do enunciado):
- A curva
é a interseção do cilindro com o plano , limitada ao primeiro octante, ou seja, com , , . - Isso significa que
é o arco do círculo de raio no plano que vai de até (o quarto de círculo com no plano ). - A integral pedida é de uma forma linear
com
, , .
A pergunta concreta: calcular o valor numérico da integral de linha ao longo desse arco. (A orientação da curva não foi dada; na resolução vou parametrizar com crescente de a , o que vai de para .)
Passo 2
Estratégia escolhida (explicando por que): é muito útil verificar se o campo vetorial associado à forma é conservativo (ou seja, gradiente de uma função potencial). Se for conservativo, a integral de linha entre dois pontos depende só dos extremos e não do caminho, então a integral ao longo do arco é simplesmente
. Verificar conservatividade é direto: comparar derivadas parciais (o “rotacional” deve ser nulo). Vou calcular as derivadas parciais necessárias e mostrar que o campo é conservativo.
Cálculo das derivadas parciais:
-
-
Portanto -
-
Portanto -
-
Portanto
Como todas essas igualdades valem, o rotacional é zero e o campo é conservativo (em
, domínio simplesmente conectado). Logo existe uma função potencial
tal que
.
Passo 3
Encontrar a função potencial
passo a passo (a ideia: integrar uma componente e ir ajustando as “constantes” que são funções das outras variáveis).
-
Começar por integrar
em relação a : ondeé uma “constante” de integração que pode depender de e . -
Agora impomos que
.
Calculea partir da expressão encontrada: Igualando aobtemos Integrando em: ondeé outra “constante” (agora dependente só de ). -
Finalmente usamos
.
A partir detemos Igualando adá Integrando em: ondeé constante real irrelevante para a integral de linha (cancela na diferença).
Assim a potencial encontrada é
Podemos tomar
para simplificar.
Passo 4
Parametrização de
(detalhe do arco no primeiro octante) e identificação dos extremos:
- No plano
e com , uma parametrização natural é com variando de a para cobrir o segmento do círculo no primeiro octante (isso vai de em até em ). Estou escolhendo a orientação com crescente; se a orientação fosse a inversa, o sinal da integral seria trocado.
Extremos:
- ponto inicial:
. - ponto final:
.
Passo 5
Aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos conservativos:
- Como
, a integral de linha ao longo de (na orientação escolhida do passo anterior) vale - Calcular
nos extremos (usando ): - No ponto inicial
: - No ponto final
:
- No ponto inicial
- Portanto a integral é
Observação final curta: se alguém tivesse escolhido a orientação contrária (de
para
), o valor seria
. Mas com a parametrização padrão
(aumentando), o valor é
.