Considere um escoamento unidimensional, estacionário e compressível de um gás (
) através de um bocal convergente-divergente.
Na seção de entrada (câmara), o escoamento possui:
Na seção de saída do bocal:
Admita que o gás pode ser aproximado como ideal, com:
(a) Determine a velocidade de saída
em função da pressão de entrada
.
(b) Determine o valor mínimo de
para que o escoamento na saída seja supersônico.
(c) Calcule a vazão mássica
na saída do bocal.
(d) Determine o empuxo
do foguete, considerando operação ao nível do mar (
bar).
(e) Avalie numericamente o empuxo para o caso limite em que o escoamento na saída se torna supersônico.
Na seção de entrada (câmara), o escoamento possui:
(b) Determine o valor mínimo de
(c) Calcule a vazão mássica
(d) Determine o empuxo
(e) Avalie numericamente o empuxo para o caso limite em que o escoamento na saída se torna supersônico.
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e do que pede.
Dados (peguei todos esses valores do enunciado):
- Na seção de entrada (câmara):
, incógnita, , . - Na seção de saída do bocal:
, , . - Constantes do gás (aproximação ideal):
, . - Condição ambiente para o empuxo:
.
O enunciado pede:
(a) Determinar a velocidade de saída em função de
.
(b) Determinar o valor mínimo de para que o escoamento na saída seja supersônico (ou seja, Mach
).
(c) Calcular a vazão mássica na saída do bocal.
(d) Determinar o empuxo do foguete ao nível do mar (
).
(e) Avaliar numericamente o empuxo no caso limite em que o escoamento na saída se torna supersônico.
(a) Determinar a velocidade de saída
(b) Determinar o valor mínimo de
(c) Calcular a vazão mássica
(d) Determinar o empuxo
(e) Avaliar numericamente o empuxo no caso limite em que o escoamento na saída se torna supersônico.
Observação: a resolução seguirá a hipótese do problema de escoamento unidimensional, estacionário e compressível com gás ideal. Usarei conservação de massa (continuidade), a lei dos gases ideais e definição da velocidade de som e do empuxo. Sempre que usar uma fórmula explico o que cada símbolo significa.
Passo 2
Conservação de massa (equação da continuidade) e uso da equação de estado.
A equação da continuidade para escoamento 1D e estacionário diz que a vazão mássica é a mesma em qualquer seção:
Aqui:
-
é a vazão mássica (kg/s), -
é a densidade (kg/m³), -
é a área da seção (m²), -
é a velocidade (m/s).
Como o gás é ideal, a densidade relaciona-se com pressão e temperatura por
onde
é a pressão (Pa),
a temperatura (K) e
a constante específica (dada).
Substituindo
e
na continuidade:
Note que
cancela; isolando
obtemos a expressão de
em função de
:
Explicando: isto vem de usar massa por unidade de volume em cada seção (densidade), multiplicar por área e velocidade dá massa por tempo; relacionando as duas seções isolamos
.
Passo 3
Simplificação numérica da expressão de
.
Colocando os valores numéricos conhecidos no fator multiplicativo:
Portanto o fator
Como
,
Logo a expressão prática e compacta é
ou, substituindo
,
Comentário didático: essa expressão veio só da continuidade + lei dos gases ideais; ela diz como a velocidade de saída cresce linearmente com a pressão de entrada
(mantidas as demais grandezas dadas). Não usei aqui balanço de energia — se houver restrições energéticas reais (por exemplo temperatura total constante),
e
não são totalmente independentes; mas para os pedidos do enunciado a expressão acima é a dependência requerida.
Passo 4
Condição para escoamento supersônico na saída: Mach
.
Definição da velocidade do som local:
onde
é a velocidade do som na saída (m/s),
e
são constantes do gás e
é a temperatura estática na saída.
O número de Mach na saída é
Para que o escoamento seja supersônico precisamos de
, ou seja
. Usamos a expressão de
obtida no passo 3 e resolvemos para
mínimo tal que
(caso limite).
Passo 5
Cálculo numérico de
e do
.
Calcule
:
Avaliação numérica:
Igualando
ao valor crítico
e usando
:
Substituindo
e
:
Convertendo para bar:
Interpretação: abaixo desse
a saída será subsônica; no limite
a saída fica exatamente sônica (
); para
a saída, segundo a expressão da continuidade, seria
, ou seja supersonica (na prática podem ocorrer fenômenos adicionais como estrangulamento (choking), ondas de choque etc., não modelados aqui).
Passo 6
Expressão para a vazão mássica
e cálculo numérico no caso limite.
Usando continuidade original
e
, obtemos diretamente (forma útil):
Explicação dos termos:
-
(kg/s) é a vazão mássica, -
(Pa) pressão na entrada, -
(m²) área na entrada, -
(m/s) velocidade na entrada, -
(J/kg·K) e (K) como antes.
Observação conveniente: esta expressão é algebraicamente equivalente a
depois de usar a relação entre
e
.
Agora, no caso limite onde
, calculemos numericamente
:
Primeiro calcule o denominador
.
Então
Avaliação numérica:
(Consistência check: calculando via
com
e
obtém-se o mesmo valor numericamente.)
Passo 7
Fórmula do empuxo
e cálculo numérico no caso limite.
Fórmula do empuxo para motor-jeto/bocal (1D, estacionário):
Explicando: o primeiro termo
é o impulso devido à massa que sai com velocidade
; o segundo termo é a força de pressão resultante na saída (diferença entre a pressão de saída e a pressão ambiente multiplicada pela área de saída).
Podemos também escrever
em função de
usando
e
, mas aqui avaliaremos numericamente no caso limite
.
Dados para o caso limite:
-
, -
(do passo anterior), -
, -
.
Calculemos os termos:
Somando:
Arredondando:
Resposta
(a)
(com
, equivalente a
).
(b)
(c) . Para
:
(d) .
(e) Para o caso limite (saída sônica, ):
(b)
(c)
(d)
(e) Para o caso limite (saída sônica,