Considere um escoamento unidimensional, estacionário e compressível de um gás ( \mathrm{LOX} / \mathrm{LH}_{2} ) através de um bocal convergente-divergente.
Na seção de entrada (câmara), o escoamento possui:
T_{1}=2500 \mathrm{~K}, \quad p_{1}=\text { incógnita }, \quad v_{1}=200 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \quad A_{1}=1,5 \mathrm{~m}^{2} .ó
Na seção de saída do bocal:
T_{2}=1500 \mathrm{~K}, \quad p_{2}=5 \mathrm{bar}, \quad A_{2}=3,0 \mathrm{~m}^{2}
Admita que o gás pode ser aproximado como ideal, com:
\rho=\frac{p}{R T}, \quad R=461 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{~K}), \quad \gamma \approx 1,3
(a) Determine a velocidade de saída v_{2} em função da pressão de entrada p_{1}.
(b) Determine o valor mínimo de p_{1} para que o escoamento na saída seja supersônico.
(c) Calcule a vazão mássica \dot{m} na saída do bocal.
(d) Determine o empuxo F do foguete, considerando operação ao nível do mar ( p_{\text {amb }}=1 bar).
(e) Avalie numericamente o empuxo para o caso limite em que o escoamento na saída se torna supersônico.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede.
Dados (peguei todos esses valores do enunciado):
  • Na seção de entrada (câmara): T_{1}=2500\\ \mathrm{K}, p_{1}= incógnita, v_{1}=200\\ \mathrm{m/s}, A_{1}=1{,}5\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Na seção de saída do bocal: T_{2}=1500\\ \mathrm{K}, p_{2}=5\\ \mathrm{bar}=5{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, A_{2}=3{,}0\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Constantes do gás (aproximação ideal): R=461\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, \gamma=1{,}3.
  • Condição ambiente para o empuxo: p_{\text{amb}}=1\\ \mathrm{bar}=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
O enunciado pede:
(a) Determinar a velocidade de saída v_{2} em função de p_{1}.
(b) Determinar o valor mínimo de p_{1} para que o escoamento na saída seja supersônico (ou seja, Mach M_{2}>1).
(c) Calcular a vazão mássica \dot{m} na saída do bocal.
(d) Determinar o empuxo F do foguete ao nível do mar ( p_{\text{amb}}=1\\ \mathrm{bar}).
(e) Avaliar numericamente o empuxo no caso limite em que o escoamento na saída se torna supersônico.
Observação: a resolução seguirá a hipótese do problema de escoamento unidimensional, estacionário e compressível com gás ideal. Usarei conservação de massa (continuidade), a lei dos gases ideais e definição da velocidade de som e do empuxo. Sempre que usar uma fórmula explico o que cada símbolo significa.

Passo 2

Conservação de massa (equação da continuidade) e uso da equação de estado.
A equação da continuidade para escoamento 1D e estacionário diz que a vazão mássica é a mesma em qualquer seção:
\dot{m}=\rho_1 A_1 v_1=\rho_2 A_2 v_2.
Aqui:
  • \dot{m} é a vazão mássica (kg/s),
  • \rho é a densidade (kg/m³),
  • A é a área da seção (m²),
  • v é a velocidade (m/s).
Como o gás é ideal, a densidade relaciona-se com pressão e temperatura por
\rho=\frac{p}{R T},
onde p é a pressão (Pa), T a temperatura (K) e R a constante específica (dada).
Substituindo \rho_1 e \rho_2 na continuidade:
\frac{p_1}{R T_1} A_1 v_1 = \frac{p_2}{R T_2} A_2 v_2.
Note que R cancela; isolando v_2 obtemos a expressão de v_2 em função de p_1:
v_2 = v_1 \,\frac{p_1 A_1 T_2}{p_2 A_2 T_1}.
Explicando: isto vem de usar massa por unidade de volume em cada seção (densidade), multiplicar por área e velocidade dá massa por tempo; relacionando as duas seções isolamos v_2.

Passo 3

Simplificação numérica da expressão de v_2(p_1).
Colocando os valores numéricos conhecidos no fator multiplicativo:
\frac{A_1}{A_2}=\frac{1{,}5}{3{,}0}=0{,}5,\qquad \frac{T_2}{T_1}=\frac{1500}{2500}=0{,}6.
Portanto o fator v_1\frac{A_1}{A_2}\frac{T_2}{T_1}=v_1\times0{,}5\times0{,}6=v_1\times0{,}3. Como v_1=200\\ \mathrm{m/s},
v_1\times0{,}3=200\times0{,}3=60\\ \mathrm{m/s}.
Logo a expressão prática e compacta é
\boxed{\,v_2 = 60\cdot\frac{p_1}{p_2}\\ \mathrm{m/s}\,}
ou, substituindo p_2=5{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},
\boxed{\,v_2 = 60\cdot\frac{p_1}{5{,}0\times10^{5}}\\ \mathrm{m/s}\,.}
Comentário didático: essa expressão veio só da continuidade + lei dos gases ideais; ela diz como a velocidade de saída cresce linearmente com a pressão de entrada p_1 (mantidas as demais grandezas dadas). Não usei aqui balanço de energia — se houver restrições energéticas reais (por exemplo temperatura total constante), p_1 e T_2 não são totalmente independentes; mas para os pedidos do enunciado a expressão acima é a dependência requerida.

Passo 4

Condição para escoamento supersônico na saída: Mach M_2>1.
Definição da velocidade do som local:
a_2=\sqrt{\gamma R T_2},
onde a_2 é a velocidade do som na saída (m/s), \gamma e R são constantes do gás e T_2 é a temperatura estática na saída.
O número de Mach na saída é
M_2=\frac{v_2}{a_2}.
Para que o escoamento seja supersônico precisamos de M_2>1, ou seja v_2>a_2. Usamos a expressão de v_2 obtida no passo 3 e resolvemos para p_1 mínimo tal que v_2=a_2 (caso limite).

Passo 5

Cálculo numérico de a_2 e do p_{1,\min}.
Calcule a_2:
a_2=\sqrt{\gamma R T_2} =\sqrt{1{,}3\cdot 461\cdot 1500}.
Avaliação numérica:
1{,}3\cdot 461\cdot 1500 = 898\,950, \qquad a_2=\sqrt{898\,950}\approx 948{,}13\\ \mathrm{m/s}.
Igualando v_2 ao valor crítico a_2 e usando v_2=60\,(p_1/p_2):
60\cdot\frac{p_{1,\min}}{p_2}=a_2 \quad\Rightarrow\quad p_{1,\min}=p_2\cdot\frac{a_2}{60}.
Substituindo p_2=5{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} e a_2\approx948{,}13\\ \mathrm{m/s}:
p_{1,\min}=5{,}0\times10^{5}\cdot\frac{948{,}13}{60} \approx 7{,}9011\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para bar:
p_{1,\min}\approx 79{,}01\\ \mathrm{bar}.
Interpretação: abaixo desse p_1 a saída será subsônica; no limite p_1=p_{1,\min} a saída fica exatamente sônica ( M_2=1); para p_1>p_{1,\min} a saída, segundo a expressão da continuidade, seria v_2>a_2, ou seja supersonica (na prática podem ocorrer fenômenos adicionais como estrangulamento (choking), ondas de choque etc., não modelados aqui).

Passo 6

Expressão para a vazão mássica \dot{m} e cálculo numérico no caso limite.
Usando continuidade original \dot{m}=\rho_1 A_1 v_1 e \rho_1=p_1/(R T_1), obtemos diretamente (forma útil):
\boxed{\,\dot{m}=\frac{p_1 A_1 v_1}{R T_1}\,}
Explicação dos termos:
  • \dot{m} (kg/s) é a vazão mássica,
  • p_1 (Pa) pressão na entrada,
  • A_1 (m²) área na entrada,
  • v_1 (m/s) velocidade na entrada,
  • R (J/kg·K) e T_1 (K) como antes.
Observação conveniente: esta expressão é algebraicamente equivalente a \dot{m}=\rho_2 A_2 v_2 depois de usar a relação entre \rho e p,T.
Agora, no caso limite onde p_1=p_{1,\min}=7{,}9011\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}, calculemos numericamente \dot{m}:
Primeiro calcule o denominador R T_1=461\cdot2500=1{,}152{,}500\\ \mathrm{J/(kg)}.
Então
\dot{m}=\frac{7{,}9011\times10^{6}\cdot 1{,}5 \cdot 200}{1{,}152{,}500} =\frac{7{,}9011\times10^{6}\cdot 300}{1{,}152{,}500}.
Avaliação numérica:
\dot{m}\approx 2{,}0559\times10^{3}\\ \mathrm{kg/s}\approx 2{,}06\times10^{3}\\ \mathrm{kg/s}.
(Consistência check: calculando via \rho_2 A_2 v_2 com \rho_2=p_2/(R T_2) e v_2=a_2 obtém-se o mesmo valor numericamente.)

Passo 7

Fórmula do empuxo F e cálculo numérico no caso limite.
Fórmula do empuxo para motor-jeto/bocal (1D, estacionário):
F=\dot{m}\,v_2 + (p_2-p_{\text{amb}})\,A_2.
Explicando: o primeiro termo \dot{m}v_2 é o impulso devido à massa que sai com velocidade v_2; o segundo termo é a força de pressão resultante na saída (diferença entre a pressão de saída e a pressão ambiente multiplicada pela área de saída).
Podemos também escrever F em função de p_1 usando \dot{m}=(p_1 A_1 v_1)/(R T_1) e v_2=60(p_1/p_2), mas aqui avaliaremos numericamente no caso limite p_1=p_{1,\min}.
Dados para o caso limite:
  • v_2=a_2\approx 948{,}13\\ \mathrm{m/s},
  • \dot{m}\approx 2055{,}9\\ \mathrm{kg/s} (do passo anterior),
  • p_2-p_{\text{amb}}=(5-1)\\ \mathrm{bar}=4{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},
  • A_2=3{,}0\\ \mathrm{m^{2}}.
Calculemos os termos:
\dot{m}\,v_2 \approx 2055{,}9\cdot 948{,}13 \approx 1{,}949{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{N},
(p_2-p_{\text{amb}})A_2 = 4{,}0\times10^{5}\cdot 3{,}0 = 1{,}200{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{N}=1{,}200{,}000\\ \mathrm{N}.
Somando:
F \approx 1{,}949{,}0\times10^{6} + 1{,}200{,}0\times10^{6} =3{,}149{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{N}.
Arredondando:
F\approx 3{,}15\times10^{6}\\ \mathrm{N}\quad\text{(aprox.)}.

Resposta

(a) v_{2}=60\cdot\dfrac{p_{1}}{p_{2}}\\ \mathrm{m/s} \qquad (com p_2=5{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, equivalente a v_2=60\cdot\dfrac{p_1}{5{,}0\times10^{5}}\\ \mathrm{m/s}).
(b) p_{1,\min}\approx 7{,}901\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\approx 79{,}0\\ \mathrm{bar}.
(c) \dot{m}=\dfrac{p_1 A_1 v_1}{R T_1}. Para p_1=p_{1,\min}: \dot{m}\approx 2{,}06\times10^{3}\\ \mathrm{kg/s}.
(d) F=\dot{m}\,v_2+(p_2-p_{\text{amb}})A_2.
(e) Para o caso limite (saída sônica, p_1=p_{1,\min}): F\approx 3{,}15\times10^{6}\\ \mathrm{N}.

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