Calcule as integrais de linha da forma integralC v d r
v(x, y, z)=(sen(x), cos (y), x z) C é dada por r(t)=t^3 i-t^2 j+t k, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC vcdot d r, onde v(x,y,z)=(sin x,cos y,xz) e a curva C é dada pela parametrização r(t)=(t^3,-t^2,t), 0<= t<=1. O conteúdo é integral de linha de campo vetorial e vamos precisar usar a fórmula integralC vcdot d r=integrala^b v( r(t))cdot r'(t),dt.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada da parametrização:
r'(t)=l(3t^2,,-2t,,1r)
Em seguida, substituímos na função-vetor:
vl( r(t)r)=l(sin(t^3),,cos(-t^2),,t^3cdot tr)=l(sin(t^3),,cos(t^2),,t^4r)
O produto escalar é
v( r(t))cdot r'(t)=3t^2sin(t^3)-2tcos(t^2)+t^4
Logo a integral vira
integral0^1l(3t^2sin(t^3)-2tcos(t^2)+t^4r)dt
Separando em três integrais e usando substituições:
  • Para integral0^1 3t^2sin(t^3),dt, faça u=t^3, obtém integral0^1sin u,du=1-cos1.
  • Para integral0^1 2tcos(t^2),dt, faça w=t^2, obtém integral0^1cos w,dw=sin1.
  • Para integral0^1 t^4,dt=l[t^5/5r]0^1=1/5.

Resposta

6/5 - sin1 - cos1

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