Seja H:(0, pi2) R dada por
H(x)=integralx^tg(x) 1raizt^2+1+1 d t
Encontre H^prime(x). (Dica: não é necessário calcular explicitamente a integral definida que define a função H .)

Passo 1

O exercício define a função
H(x)=∫_{x}^{tg(x)} \frac{1}{√(t^2+1)+1} dt
e pede Hʹ(x). O conteúdo aqui é derivar uma integral com limites dependentes, aplicando a regra de Leibniz para integrais paramétricas.

Passo 2

A regra de Leibniz diz que, se H(x)=∫_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt, então
Hʹ(x)=f(b(x))·bʹ(x)−f(a(x))·aʹ(x).
Aqui temos a(x)=x, b(x)=tg(x) e f(t)=1/(√(t^2+1)+1).

Passo 3

Vamos calcular f(b(x)) e bʹ(x):
f(tg(x))=\frac{1}{√(tg^2(x)+1)+1}=\frac{1}{sec(x)+1},
bʹ(x)=\frac{d}{dx}[tg(x)]=sec^2(x).
Logo o termo do limite superior é
\frac{sec^2(x)}{sec(x)+1}.

Passo 4

Agora calculamos f(a(x)) e aʹ(x):
a(x)=x ⇒ aʹ(x)=1,
f(x)=\frac{1}{√(x^2+1)+1}.
Logo o termo do limite inferior é
\frac{1}{√(x^2+1)+1}.

Passo 5

Substituindo na fórmula de Leibniz, obtemos
Hʹ(x)=\frac{sec2(x)}{sec(x)+1}−\frac{1}{√(x2+1)+1}.

Resposta

Hʹ(x)=\frac{\sec2(x)}{\sec(x)+1}-\frac{1}{\sqrt{x2+1}+1}

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