Calcule as seguintes integrais:
integral cos ^2(theta)-sen(5 theta) sen(3 theta) d theta.

Passo 1

Fala! Vamos resolver a integral integral cos^2(theta) - sin(5theta) sin(3theta) , dtheta. Esse exercício está ligado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que facilitam a integração dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lidar com o termo cos^2(theta). Sabemos que cos^2(theta) pode ser reescrito usando a identidade de redução de potência:
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2
Isso vai simplificar a integração.

Passo 3

Agora, vamos transformar o produto sin(5theta) sin(3theta). Usamos a identidade de produto para senos:
sin(A)sin(B) = cos(A - B) - cos(A + B)2
Substituindo A = 5theta e B = 3theta, temos:
sin(5theta)sin(3theta) = cos(2theta) - cos(8theta)2

Passo 4

Substituindo essas expressões na integral original, ficamos com:
integral ( 1 + cos(2theta)2 - cos(2theta) - cos(8theta)2 ) dtheta
Podemos simplificar a expressão:
integral ( 1 + cos(2theta) - cos(2theta) + cos(8theta)2 ) dtheta = integral 1 + cos(8theta)2 dtheta

Passo 5

Agora, dividimos a integral:
12 integral 1 , dtheta + 12 integral cos(8theta) , dtheta
Integrando cada termo:
12 theta + 12 cdot sin(8theta)8 + C = 12 theta + sin(8theta)16 + C

Resposta

A integral é igual a 12 theta + sin(8theta)16 + C, onde C é a constante de integração.

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