Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo é determinar a forma do Wronskiano de duas soluções dessa equação. Para isso, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais lineares e propriedades do Wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas soluções $ y_1 $ e $ y_2 $ de uma equação diferencial linear de segunda ordem, o Wronskiano $ W $ é definido por:
O Wronskiano nos ajuda a determinar se as soluções são linearmente independentes.
Passo 3
Existe uma propriedade do Wronskiano que nos relaciona diretamente com os coeficientes da equação diferencial. Para uma equação da forma:
O Wronskiano satisfaz a seguinte equação diferencial:
Passo 4
Aplicando isso à nossa equação:
Aqui, temos:
- $ P(t) = t^{3} $
- $ Q(t) = t^{2} $
Substituindo na equação do Wronskiano:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para $ W $. Vamos resolver usando um fator integrante. A equação tem a forma:
Onde $ P(t) = \frac{1}{t} $. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
Passo 6
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Resposta
A forma do Wronskiano é $ \displaystyle \frac{c}{t} $.