Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
t^3 y^prime prime+t^2 y^prime+5 y=0
Escolha uma opção:
c1+t^2
ct
c e^t^2
ct^2
Nenhuma das demais alternativas
c e^tt

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
t^3 y'' + t^2 y' + 5 y = 0
O objetivo é determinar a forma do Wronskiano de duas soluções dessa equação. Para isso, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais lineares e propriedades do Wronskiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas soluções $ y_1 $ e $ y_2 $ de uma equação diferencial linear de segunda ordem, o Wronskiano $ W $ é definido por:
y1
O Wronskiano nos ajuda a determinar se as soluções são linearmente independentes.

Passo 3

Existe uma propriedade do Wronskiano que nos relaciona diretamente com os coeficientes da equação diferencial. Para uma equação da forma:
P(t) y'' + Q(t) y' + R(t) y = 0
O Wronskiano satisfaz a seguinte equação diferencial:
W' + Q(t)P(t) W = 0

Passo 4

Aplicando isso à nossa equação:
t^3 y'' + t^2 y' + 5 y = 0
Aqui, temos:
  • $ P(t) = t^{3} $
  • $ Q(t) = t^{2} $
Substituindo na equação do Wronskiano:
P(t) = t^3

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para $ W $. Vamos resolver usando um fator integrante. A equação tem a forma:
W
Onde $ P(t) = \frac{1}{t} $. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
W' + P(t) W = 0

Passo 6

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
t W' + 1t cdot t W = t W' + W = 0
Isso simplifica para:
ddt(t W) = 0
Integrando ambos os lados:
t W = C implies W = Ct

Resposta

A forma do Wronskiano é $ \displaystyle \frac{c}{t} $.

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