Calcule as integrais de linha:
integralC f d s, para função f(x, y, z)=2 x+9 z e curva C: t i+t^2 v e c j+t^3 k, onde 0 <= t <= 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O que a gente tem aqui é uma função que queremos integrar ao longo de uma curva . A curva está parametrizada por , onde varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular o diferencial e então montar e calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, ela serve para somar os valores de uma função ao longo de uma curva específica. No nosso caso, a função vai ser “soma” ao longo da curva .

Passo 3

Como a curva x(t) = t, y(t) = t^2, z(t) = t^3 está parametrizada por , isso significa que as coordenadas estão em função de :
Vamos substituir esses valores na função .

Passo 4

Substituindo na função f(x(t), y(t), z(t)) = 2x + 9z = 2t + 9t^3 :
Então, a nossa função ao longo da curva fica .

Passo 5

Agora, precisamos calcular o diferencial de arco ds = |r'(t)| dt . Isso é dado pela magnitude da derivada da parametrização multiplicada por :
Primeiro, vamos calcular .

Passo 6

Calculando a derivada de r'(t) = ddt(t,i + t^2,j + t^3,k) = i + 2t,j + 3t^2,k :
Agora, vamos calcular a magnitude dessa derivada.

Passo 7

A magnitude de |r'(t)| = raiz(1)^2 + (2t)^2 + (3t^2)^2 = raiz1 + 4t^2 + 9t^4 é:
ds = raiz1 + 4t^2 + 9t^4,dt
Portanto, o diferencial fica:

Passo 8

Agora, podemos montar a integral de linha:
integralC f, ds = integral0^1 f(t) cdot ds = integral0^1 (2t + 9t^3) raiz1 + 4t^2 + 9t^4, dt
Essa integral representa a soma dos valores de ao longo da curva .

Passo 9

Para resolver essa integral, notamos que é uma expressão um pouco complicada para integrar diretamente de forma simbólica. Portanto, a melhor opção é calcular essa integral numericamente, ou seja, usando métodos de aproximação para encontrar o valor.

Passo 10

Usando métodos numéricos ou uma calculadora avançada, podemos avaliar a integral:
integral0^1 (2t + 9t^3) raiz1 + 4t^2 + 9t^4, dt approx 5.5
(O valor exato pode variar ligeiramente dependendo do método utilizado.)

Resposta

A integral de linha é aproximadamente .

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