Calcule as integrais de linha:
, para função
e curva
, onde
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O que a gente tem aqui é uma função
que queremos integrar ao longo de uma curva
. A curva
está parametrizada por
, onde
varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular o diferencial
e então montar e calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, ela serve para somar os valores de uma função ao longo de uma curva específica. No nosso caso, a função
vai ser “soma” ao longo da curva
.
Passo 3
Como a curva
está parametrizada por
, isso significa que as coordenadas
estão em função de
:
Vamos substituir esses valores na função
.
Passo 4
Substituindo na função
:
Então, a nossa função ao longo da curva fica
.
Passo 5
Agora, precisamos calcular o diferencial de arco
. Isso é dado pela magnitude da derivada da parametrização
multiplicada por
:
Primeiro, vamos calcular
.
Passo 6
Calculando a derivada de
:
Agora, vamos calcular a magnitude dessa derivada.
Passo 7
A magnitude de
é:
Portanto, o diferencial
fica:
Passo 8
Agora, podemos montar a integral de linha:
Essa integral representa a soma dos valores de
ao longo da curva
.
Passo 9
Para resolver essa integral, notamos que é uma expressão um pouco complicada para integrar diretamente de forma simbólica. Portanto, a melhor opção é calcular essa integral numericamente, ou seja, usando métodos de aproximação para encontrar o valor.
Passo 10
Usando métodos numéricos ou uma calculadora avançada, podemos avaliar a integral:
(O valor exato pode variar ligeiramente dependendo do método utilizado.)
Resposta
A integral de linha é aproximadamente
.