Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de f em torno de x0
senh(x) em torno de 0

Passo 1

O problema pede o polinômio de Taylor de ordem 5 (Maclaurin) de f(x)=sinh(x) em torno de x0=0. O conteúdo envolvido é a Série de Taylor, cuja definição geral é
Tn(x)=sumk=0^n f^(k)(x0)k!(x-x0)^k
Para montar T5 precisamos das derivadas de f até a quinta e suas partes iniciais.

Passo 2

A função é f(x)=sinh(x). Suas derivadas sucessivas são:
f(x)&=sinh(x), f'(x)&=cosh(x), f''(x)&=sinh(x), f'''(x)&=cosh(x), f^(4)(x)&=sinh(x), f^(5)(x)&=cosh(x)
Em x=0 sabemos que sinh(0)=0 e cosh(0)=1. Logo:
f(0)=0, f'(0)=1, f''(0)=0, f'''(0)=1, f^(4)(0)=0, f^(5)(0)=1

Passo 3

Aplicando a fórmula de Taylor de ordem 5 em x0=0:
T5(x)=sumk=0^5 f^(k)(0)k!x^k =f(0)0!x^0+f'(0)1!x+f''(0)2!x^2+f'''(0)3!x^3+f^(4)(0)4!x^4+f^(5)(0)5!x^5

Passo 4

Dos valores obtidos vemos que apenas os termos para k=1,3,5 não são nulos, com coeficientes:
f'(0)1!=1, f'''(0)3!=16, f^(5)(0)5!=1120
Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 5 é a soma desses três termos.

Resposta

P5(x)=x+x^36+x^5120

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