Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
f)
f)
Passo 1
O enunciado nos dá um problema de valor inicial:
Temos a equação diferencial com condições
e
.
O conteúdo é a transformada de Laplace para resolver equações lineares com condições iniciais.
Vamos usar as tabelas de transformadas e as condições iniciais para encontrar .
Temos a equação diferencial
O conteúdo é a transformada de Laplace para resolver equações lineares com condições iniciais.
Vamos usar as tabelas de transformadas e as condições iniciais para encontrar
Passo 2
Vamos aplicar a transformada de Laplace nos dois lados da equação.
Lembrando que
Lembrando que
e
ficamos com
Do outro lado
Passo 3
Substituindo
e
na expressão de cima, obtemos
que é
Isolando
Passo 4
Vamos reescrever
em termos de frações que a gente já sabe inverter:
Aqui separamos em duas partes: uma com denominador
Passo 5
Agora usamos a transformada inversa termo a termo:
- Para
temos . - Para
temos . - Para
usamos que
logo, com
Passo 6
Juntando tudo, a solução no domínio do tempo é
Passo 7
Podemos, se quiser, coletar
: