Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
f) cly^prime prime+9 y & =cos 3 x y(0)=2 & y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado nos dá um problema de valor inicial:
Temos a equação diferencial y''+9y=cos3x com condições y(0)=2 e y'(0)=-1.
O conteúdo é a transformada de Laplace para resolver equações lineares com condições iniciais.
Vamos usar as tabelas de transformadas e as condições iniciais para encontrar Y(s)= Ly(x).

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace nos dois lados da equação.
Lembrando que
Ly''(x)(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
e
Ly(x)(s)=Y(s),
ficamos com
Ly''+9y(s)=l(s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)r)+9Y(s)
Do outro lado Lcos3x(s)=s/(s^2+9).

Passo 3

Substituindo y(0)=2 e y'(0)=-1 na expressão de cima, obtemos
l(s^2Y(s)-2s-(-1)r)+9Y(s)=ss^2+9,
que é
Y(s)(s^2+9)-2s+1=ss^2+9
Isolando Y(s)
Y(s)=ss^2+9+2s-1s^2+9

Passo 4

Vamos reescrever Y(s) em termos de frações que a gente já sabe inverter:
Y(s)=s(s^2+9)^2+2s-1s^2+9
Aqui separamos em duas partes: uma com denominador (s^2+9)^2 e outra com s^2+9.

Passo 5

Agora usamos a transformada inversa termo a termo:
  • Para 2ss^2+9 temos 2cos3x.
  • Para -1s^2+9 temos -tfrac13sin3x.
  • Para s(s^2+9)^2 usamos que
L^-1ls(s^2+a^2)^2r=x2asin(ax),
logo, com a=3 tfracx6sin3x.

Passo 6

Juntando tudo, a solução no domínio do tempo é
y(x)=x6sin3x+2cos3x-13sin3x

Passo 7

Podemos, se quiser, coletar sin3x:
y(x)=2cos3x+l(x6-13r)sin3x

Resposta

y(x)=x6sin(3x)+2cos(3x)-13sin(3x)

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