Determine os valoses maximos e minimos
multiplicador de lagrange
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que estamos fazendo aqui é encontrar os valores máximos e mínimos da função
sob a condição de que
. Para resolver isso, vamos usar a técnica dos multiplicadores de Lagrange, que é uma ferramenta ótima em otimização quando temos restrições como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são multiplicadores de Lagrange. Essa técnica nos permite encontrar os máximos e mínimos de uma função
sujeita a uma restrição
. A ideia é que no ponto ótimo, o gradiente de
seja paralelo ao gradiente de
, ou seja:
Onde
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 3
Vamos identificar nossas funções:
Agora, vamos calcular os gradientes dessas funções.
Passo 4
Calculando o gradiente de
:
E o gradiente de
:
Passo 5
Aplicando a condição dos multiplicadores de Lagrange:
Ou seja:
Podemos simplificar essas equações dividindo ambos os lados por 2 e, assumindo que
(vamos tratar o caso onde algum é zero depois):
Passo 6
Agora, podemos simplificar ainda mais dividindo cada equação pelo respectivo
(já que assumimos que eles não são zero):
Isso nos dá:
Passo 7
Vamos igualar as expressões:
-
implica que (desde que ). -
implica que (desde que ).
Portanto, temos que
.
Passo 8
Como
e
, podemos escrever:
Da mesma forma,
e
.
Passo 9
Agora, vamos calcular
nesses pontos:
Passo 10
Além desses pontos, precisamos considerar casos onde algum dos
é zero, já que inicialmente assumimos que eles não eram. Se, por exemplo,
, então a restrição
se reduz a
, e
. O mesmo vale para
ou
. Portanto, nesses casos,
.
Resposta
Os valores máximos de
sujeitos à condição
s��o
e os valores mínimos são
.