Determine os valoses maximos e minimos
f(x, y, z)=x^2 y^2 z^2 sujeito x^2+y^2+z^2=1
multiplicador de lagrange

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que estamos fazendo aqui é encontrar os valores máximos e mínimos da função sob a condição de que . Para resolver isso, vamos usar a técnica dos multiplicadores de Lagrange, que é uma ferramenta ótima em otimização quando temos restrições como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são multiplicadores de Lagrange. Essa técnica nos permite encontrar os máximos e mínimos de uma função nabla f = lambda nabla g sujeita a uma restrição . A ideia é que no ponto ótimo, o gradiente de seja paralelo ao gradiente de , ou seja:
Onde é o multiplicador de Lagrange.

Passo 3

Vamos identificar nossas funções:
f(x, y, z) = x^2 y^2 z^2
g(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0
Agora, vamos calcular os gradientes dessas funções.

Passo 4

Calculando o gradiente de nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) = ( 2x y^2 z^2, 2y x^2 z^2, 2z x^2 y^2 ) :
nabla g = ( partial gpartial x, partial gpartial y, partial gpartial z ) = ( 2x, 2y, 2z )
E o gradiente de :

Passo 5

Aplicando a condição dos multiplicadores de Lagrange:
nabla f = lambda nabla g
Ou seja:
2x y^2 z^2 = lambda cdot 2x
2y x^2 z^2 = lambda cdot 2y
2z x^2 y^2 = lambda cdot 2z
Podemos simplificar essas equações dividindo ambos os lados por 2 e, assumindo que x y^2 z^2 = lambda x (vamos tratar o caso onde algum é zero depois):
y x^2 z^2 = lambda y
z x^2 y^2 = lambda z

Passo 6

Agora, podemos simplificar ainda mais dividindo cada equação pelo respectivo y^2 z^2 = lambda (já que assumimos que eles não são zero):
x^2 z^2 = lambda
x^2 y^2 = lambda
y^2 z^2 = x^2 z^2 = x^2 y^2
Isso nos dá:

Passo 7

Vamos igualar as expressões:
  1. implica que (desde que ).
  2. implica que (desde que ).
Portanto, temos que .

Passo 8

Como 3x^2 = 1 implies x^2 = 13 implies x = pm 1raiz3 e , podemos escrever:
Da mesma forma, e .

Passo 9

Agora, vamos calcular f( pm 1raiz3, pm 1raiz3, pm 1raiz3 ) = ( 1raiz3 )^2 ( 1raiz3 )^2 ( 1raiz3 )^2 = ( 13 ) ( 13 ) ( 13 ) = 127 nesses pontos:

Passo 10

Além desses pontos, precisamos considerar casos onde algum dos é zero, já que inicialmente assumimos que eles não eram. Se, por exemplo, , então a restrição se reduz a , e . O mesmo vale para ou . Portanto, nesses casos, .

Resposta

Os valores máximos de sujeitos à condição s��o e os valores mínimos são .

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