Calcule sen(arccos (45)+arcsen(45)).

Passo 1

O enunciado pede para calcular . O conteúdo envolvido é soma de ângulos em trigonometria, e vamos precisar da fórmula de seno da soma de dois ângulos e do teorema fundamental da trigonometria.

Passo 2

Definimos alpha = arccosl(tfrac45r) e . Pelo domínio dessas funções, beta = arcsenl(tfrac45r) e alphain[0,pi]. Sabemos que
betain[-tfracpi2,tfracpi2]
e
cosalpha = tfrac45,

Passo 3

Para encontrar sinalpha e cosbeta, aplicamos o teorema fundamental da trigonometria:
sinalpha = raiz1 - cos^2alpha = raiz1 - l(tfrac45r)^2 = tfrac35,
cosbeta = raiz1 - sin^2beta = raiz1 - l(tfrac45r)^2 = tfrac35
Ambos são positivos porque alpha está em [0,pi] (seno não negativo) e beta em [-tfracpi2,tfracpi2] (cosseno não negativo).

Passo 4

Agora aplicamos a identidade de soma de ângulos para o seno:
sin(alpha + beta) = sinalpha cdot cosbeta + cosalpha cdot sinbeta

Passo 5

Substituindo os valores que encontramos:
sin(alpha+beta) = l(tfrac35r)cdotl(tfrac35r) + l(tfrac45r)cdotl(tfrac45r) = tfrac925 + tfrac1625 = tfrac2525 = 1

Resposta

1

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