Sejam
tais que
e que
. Quais das afirmações abaixo podemos afirmar com certeza:
para todo
para todo
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções, $ f $ e $ g $, e sabemos que quando $ x $ vai para mais infinito, $ f(x) $ também vai para mais infinito ($ \lim_{x \rightarrow+\infty} f(x) = +\infty $) e $ g(x) $ se aproxima de zero ($ \lim_{x \rightarrow+\infty} g(x) = 0 $). A pergunta é se podemos afirmar com certeza que para todo $ x $, $ f(x) \geq g(x) $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada limite. Quando dizemos que $ \lim_{x \rightarrow+\infty} f(x) = +\infty $, estamos dizendo que à medida que $ x $ cresce, $ f(x) $ fica cada vez maior, sem limite superior. Por outro lado, $ \lim_{x \rightarrow+\infty} g(x) = 0 $ significa que conforme $ x $ aumenta, $ g(x) $ se aproxima de zero.
Passo 3
Agora, a afirmação que queremos analisar é: “para todo $ x $, $ f(x) \geq g(x) $”. Vamos pensar nisso. Sabemos que para valores muito grandes de $ x $, $ f(x) $ será muito maior que $ g(x) $, já que $ f(x) $ vai para mais infinito e $ g(x) $ vai para zero. Isso sugere que, pelo menos para $ x $ grandes, a desigualdade $ f(x) \geq g(x) $ é verdadeira.
Passo 4
No entanto, a afirmação diz “para todo $ x $”, ou seja, para todos os valores de $ x $, não apenas para os muito grandes. Aqui está o problema: a informação que temos sobre os limites quando $ x $ vai para mais infinito não nos dá detalhes sobre o comportamento de $ f(x) $ e $ g(x) $ para valores menores de $ x $. Pode ser que, para alguns valores menores de $ x $, $ f(x) $ seja menor que $ g(x) $.
Passo 5
Sem informações adicionais sobre as funções $ f $ e $ g $ em todo o domínio de $ x $, não podemos garantir que a desigualdade $ f(x) \geq g(x) $ seja válida para todos os valores de $ x $. Podemos afirmar que isso é verdade para $ x $ suficientemente grande, mas não para todo $ x $.
Resposta
Não podemos afirmar com certeza que para todo $ x $, $ f(x) \geq g(x) $.