Calcule as integrais de linha.
integralgamma y|d gamma|, gamma(t)=(t^2, t), 0 <= t <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O exercício pede para calcular a integral integralgamma y , |dgamma|, onde a curva gamma(t) é parametrizada por (t^2, t) no intervalo de t de 0 a 2. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular o diferencial de comprimento |dgamma| e, por fim, integrar a função y multiplicada por esse diferencial ao longo do intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da curva gamma(t). Ela é dada por:
gamma(t) = (x(t), y(t)) = (t^2, t)
Aqui, x(t) = t^2 e y(t) = t.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de comprimento |dgamma|. Para isso, calculamos as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t:
dxdt = 2t
dydt = 1
O diferencial de comprimento é dado por:
|dgamma| = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt = raiz(2t)^2 + (1)^2 , dt = raiz4t^2 + 1 , dt

Passo 4

Agora, substituímos y(t) e |dgamma| na integral original:
integralgamma y , |dgamma| = integral0^2 y(t) cdot |dgamma| = integral0^2 t cdot raiz4t^2 + 1 , dt
Então, precisamos calcular a integral:
integral0^2 t raiz4t^2 + 1 , dt

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Vamos definir:
u = 4t^2 + 1
Então, a derivada de u em relação a t é:
dudt = 8t Rightarrow dt = du8t
Substituindo na integral:
integral t raizu cdot du8t = 18 integral raizu , du
Isso simplifica para:
18 integral u^1/2 , du

Passo 6

Agora, calculamos a integral de u^1/2:
18 cdot 23 u^3/2 + C = 112 u^3/2 + C
Voltando à variável original t:
112 (4t^2 + 1)^3/2
Agora, avaliamos essa expressão de t = 0 a t = 2:
[ 112 (4t^2 + 1)^3/2 ]0^2 = 112 (4(2)^2 + 1)^3/2 - 112 (4(0)^2 + 1)^3/2
= 112 (16 + 1)^3/2 - 112 (1)^3/2 = 112 (17)^3/2 - 112 (1)

Resposta

A integral de linha é igual a 17^3/2 - 112.

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