Calcule as integrais de linha.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O exercício pede para calcular a integral
, onde a curva
é parametrizada por
no intervalo de
de 0 a 2. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular o diferencial de comprimento
e, por fim, integrar a função
multiplicada por esse diferencial ao longo do intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da curva
. Ela é dada por:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o diferencial de comprimento
. Para isso, calculamos as derivadas de
e
em relação a
:
O diferencial de comprimento é dado por:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Então, precisamos calcular a integral:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Substituindo na integral:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, calculamos a integral de
:
Voltando à variável original
:
Agora, avaliamos essa expressão de
a
:
Resposta
A integral de linha é igual a
.