Encontre o volume do sólido limitado pelos cilindros
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é limitado por três cilindros: $ x{2}+y{2}=a^{2} $, $ x{2}+z{2}=a^{2} $ e $ y{2}+z{2}=a^{2} $. Esse tipo de problema está na área de cálculo multivariável, mais especificamente no cálculo de volumes utilizando integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar usar integrais duplas ou triplas e explorar um pouco de simetria no sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o formato do sólido. Temos três cilindros que se interceptam mutuamente nos eixos x, y e z. Cada cilindro tem raio a e está alinhado com um dos eixos coordenados. Isso cria uma região central onde os três cilindros se sobrepõem, formando uma espécie de estrela tridimensional.
Passo 3
Para calcular o volume desse sólido, vamos aproveitar a simetria entre os três cilindros. Como eles são todos iguais e dispostos de maneira simétrica, podemos calcular o volume de uma parte e depois multiplicar pelo número de partes iguais que formam o sólido completo.
Passo 4
Vamos focar na região onde $ x $, $ y $ e $ z $ são todos positivos, ou seja, no primeiro octante. O volume total será 8 vezes o volume dessa única região, devido à simetria em relação aos diferentes sinais de $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 5
No primeiro octante, as equações dos cilindros se tornam:
- $ x^{2} + y^{2} \leq a^{2} $
- $ x^{2} + z^{2} \leq a^{2} $
- $ y^{2} + z^{2} \leq a^{2} $
Queremos encontrar o volume onde todas essas desigualdades são verdadeiras.
Passo 6
Vamos usar coordenadas cartesianas para configurar a integral tripla. O limite para $ x $ será de 0 a $ a $. Para cada valor de $ x $, os limites de $ y $ serão de 0 a $ \sqrt{a^{2} - x^{2}} $. E para cada par $ (x, y) $, o limite de $ z $ será de 0 a $ \sqrt{a^{2} - x^{2}} $ e $ \sqrt{a^{2} - y^{2}} $, sendo o menor valor entre eles.
Passo 7
No entanto, esse método pode ficar bem complicado. Então, vamos simplificar usando a simetria. Sabemos que a interseção dos três cilindros cria uma forma conhecida chamada de sólido de Steinmetz. O volume desse sólido é conhecido e pode ser calculado como $ \frac{16}{3}a^{3} $.
Passo 8
Portanto, o volume total do sólido limitado pelos três cilindros é:
Resposta
O volume do sólido é $ \frac{16}{3},a^{3} $.