Universidade Federal de Juiz de Fora - ICE - Departamento de Matemfaica Cáleulo II - Primeira chamada da Segunda Avaliação - 2024.3 - 12/02/2025 - Bh
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Matricula:
Tarmanc
1 2 3 4 5 Total
Verifique se a função |l|l|l|l|l|l| hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & Total hline & & & & & hline Justifigue!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos algo sobre a função $ f(x, y) $ definida por:
f(x, y)
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, precisamos verificar se a função é contínua no ponto $ (0,0) $. Isso envolve calcular o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ e ver se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto, que é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto para duas variáveis. A função $ f(x, y) $ é contínua em $ (a, b) $ se:
f(x, y)
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em $ (0,0) $:
(a, b)
Então, se conseguirmos mostrar que o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ é zero, a função será contínua nesse ponto.

Passo 3

Vamos calcular o limite $ \lim_{(x, y) \to (0,0)} \frac{2x^{2} + y{2}}{x{2} + 4y^{2}} $. Uma maneira eficiente de fazer isso é usando coordenadas polares, onde $ x = r\cos\theta $ e $ y = r\sin\theta $. Isso simplifica a análise do limite quando $ r \to 0 $.
Substituindo $ x $ e $ y $ por $ r\cos\theta $ e $ r\sin\theta $ na função:
lim(x, y) to (0,0) 2x^2 + y^2x^2 + 4y^2

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão. Note que todos os termos têm $ r^{2} $, então podemos fatorar $ r^{2} $ no numerador e no denominador:
r^2
Perceba que o $ r^{2} $ cancelou, o que significa que o limite não depende de $ r $, mas apenas de $ \theta $.

Passo 5

Agora, vamos analisar a expressão resultante:
2cos^2theta + sin^2thetacos^2theta + 4sin^2theta
Queremos mostrar que esse quociente tende a um valor específico quando $ r \to 0 $, ou seja, independentemente do caminho que $ (x, y) $ toma para se aproximar de $ (0,0) $.
Vamos verificar diferentes valores de $ \theta $:
  1. Para $ \theta = 0 $: $ \cos 0 = 1 $, $ \sin 0 = 0 $
r to 0
  1. Para $ \theta = \frac{\pi}{2} $: $ \cos \frac{\pi}{2} = 0 $, $ \sin \frac{\pi}{2} = 1 $
(x, y)
  1. Para $ \theta = \frac{\pi}{4} $: $ \cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
(0,0)

Passo 6

Vemos que o valor do quociente varia dependendo de $ \theta $. Isso significa que o limite da função $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ depende do caminho seguido para chegar lá. Como obtemos valores diferentes (2, 0,25, 0,6) para diferentes caminhos, concluímos que o limite não existe.

Resposta

Como o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ tende a $ (0,0) $ não é único e depende do caminho seguido, a função $ f(x, y) $ não é contínua em $ (0,0) $.

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