Calcule as integrais de linha ao longo da curva indicada.
(a) integralgamma 2 y d x-3 x d y, gamma(t)=(1-t, 5-t) ; 0 <= t <= 1
(b) integralC x y d x-y^2 d y, C curva definida pela parábola y=x^2 de (-1,1) à (1,1).
© ointO D y d x+2 x d y, D=(x, y) in R^2: x^2+y^2 <= 1,-y <= x <= y, y >= 0
(d) integralgamma x y d s, gamma(t)=(t, t), 0 <= t <= 1
(e) integralgamma x^2 d s, gamma(t)=(cos 2 t, sen 2 t), 0 <= t <= 2 pi
(f) ointC y d x+2 x d y, C curva definida pelo triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (1,1).
(g) ointC x^2-y^2 d s, C é o círculo x^2+y^2=4.
(h) integralC y^2 d x+x^2 d y, C é o semicírculo x=raiz1-y^2 de (0,-1) à (0,1).
(i) integralC y d x-x d yx^2+y^2, C é a curva x=cos ^3 t e y=sen^3 t de 0 <= t <= pi2.
(j) ointC x y(3 y d x+7 x d y), C é a elipse 9 x^2+4 y^2=36.
(k) ointC x y d x+(y^2-x^2) d y, C é a curva definida pelos arcos y=x^2 e y=raizx de 0 <= x <= 1.
(l) integralC(x+y+z) d x+(x-2 y+3 z) d y+(2 x+y-z) d z, C é a curva que liga a origem ao ponto A=(2,3,4), através de três segmentos retilíneos: o primeiro uma porção do eixo x, o segundo paralelo ao eixo y e o terceiro paralelo ao eixo z.
(m) integralC d x+x y d y+z d z, C é a interseçào de x^2+y^2+z^2=2, x >= 0, y >= 0 e z >= 0 com plano y=x, do ponto (0,0, raiz2) à (1,1,0).
(n) integralC x d x+d y+2 d z, C é a interseçào do parabolóide x^2+y^2=z com o plano z=

Passo 1

Beleza! A gente precisa calcular a integral de linha integralgamma 2 y,dx -3 x,dy ao longo da curva gamma(t) = (1-t, 5-t) para 0 <= t <= 1. Isso faz parte do estudo de integrais de linha no cálculo vetorial, que servem pra integrar funções ao longo de uma trajetória específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva gamma(t) = (1-t, 5-t). Aqui, x(t) = 1 - t e y(t) = 5 - t, onde t varia de 0 a 1. Essa parametrização nos ajuda a expressar dx e dy em termos de dt.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t:
dxdt = ddt(1 - t) = -1
dydt = ddt(5 - t) = -1

Passo 4

Com as derivadas, substituímos na expressão da integral:
integral0^1 [2 y(t) cdot dxdt - 3 x(t) cdot dydt],dt
Substituindo y(t) = 5 - t, x(t) = 1 - t, dxdt = -1 e dydt = -1:
integral0^1 [2(5 - t) cdot (-1) - 3(1 - t) cdot (-1)],dt

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
2(5 - t)(-1) = -10 + 2t
-3(1 - t)(-1) = 3(1 - t) = 3 - 3t
Então, a integral fica:
integral0^1 (-10 + 2t) + (3 - 3t),dt = integral0^1 (-7 - t),dt

Passo 6

Agora, calculamos a integral definida:
integral0^1 (-7 - t),dt = [ -7t - 12t^2 ]0^1 = ( -7 cdot 1 - 12 cdot 1^2 ) - ( -7 cdot 0 - 12 cdot 0^2 ) = -7 - 12 = -7,5

Resposta

A integral de linha é -7,5.

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