Calcule as integrais de linha ao longo da curva indicada.
(a)
(b)
curva definida pela parábola
de
à
.
©
(d)
(e)
(f)
curva definida pelo triângulo de vértices
e (1,1).
(g)
é o círculo
.
(h)
é o semicírculo
de
à
.
(i)
é a curva
e
de
.
(j)
é a elipse
.
(k)
é a curva definida pelos arcos
e
.
(l)
é a curva que liga a origem ao ponto
, através de três segmentos retilíneos: o primeiro uma porção do eixo
, o segundo paralelo ao eixo
e o terceiro paralelo ao eixo
.
(m)
é a interseçào de
e
com plano
, do ponto
à
.
(n)
é a interseçào do parabolóide
com o plano
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
Passo 1
Beleza! A gente precisa calcular a integral de linha
ao longo da curva
para
. Isso faz parte do estudo de integrais de linha no cálculo vetorial, que servem pra integrar funções ao longo de uma trajetória específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Aqui,
e
, onde
varia de 0 a 1. Essa parametrização nos ajuda a expressar
e
em termos de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Com as derivadas, substituímos na expressão da integral:
Substituindo
,
,
e
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, calculamos a integral definida:
Resposta
A integral de linha é
.