Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^prime=e^-y t, y(0)=ln (7+1)

Passo 1

Temos o PVI y'=e^-y,t com y(0)=ln(7+1). Isso é uma equação diferencial de primeira ordem do tipo separável. Vamos usar separação de variáveis e integração para achar y(t).

Passo 2

Reescrevemos dydt=t,e^-y de forma a agrupar y de um lado e t do outro:
e^y,dy = t,dt

Passo 3

Agora integramos cada lado. De um lado integral e^y,dy = e^y, do outro integral t,dt = t^2/2. Incluindo a constante de integração C:
integral e^y,dy = integral t,dt
e^y = t^22 + C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=ln8. Como e^ln8=8, em t=0 temos
8 = 0^22 + C
logo C=8.

Passo 5

Finalmente, substituímos C=8 em e^y=tfract^22+C e isolamos y aplicando o logaritmo natural.

Resposta

y(t) = \ln\bigl(\tfrac{t^{2}}{2} + 8\bigr)

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