Calcule as integrais de linha
ds pelo teorema de Stokes, no sentido horário como visto por uma pessoa de pé na origem, para as seguintes
e
. Suponha que as coordenadas cartesianas sejam dextrogiras.
, C é a circunferência
Passo 1
No enunciado, a gente quer calcular a integral de linha
aplicando o teorema de Stokes. O campo é
e a curva
é a circunferência
, orientada no sentido horário vista de quem está na origem (coordenadas dextrogiras). Para usar Stokes, vamos substituir a integral de linha por uma integral de superfície do rotacional de
.
Passo 2
Calcular o rotacional de
. Lembrando que
. Aqui temos:
Passo 3
Determinar o vetor normal
compatível com a orientação da curva. Pelo teorema de Stokes, se o dedo seguir o sentido da curva, o polegar indica
. A curva é vista como horária de quem está na origem, ou seja, de quem olha do lado de baixo do plano
. Escolhendo
, quem olha de cima vê a curva contra-horária e quem está embaixo (na origem) vê-a horária, batendo com o enunciado.
Passo 4
Calcular a integral de superfície:
Resposta
24\pi