Calcule as integrais de linha ointC F cdot r^prime ds pelo teorema de Stokes, no sentido horário como visto por uma pessoa de pé na origem, para as seguintes F e C. Suponha que as coordenadas cartesianas sejam dextrogiras.
F=[-3 y, 3 x, z], C é a circunferência x^2+y^2=4, z=1

Passo 1

No enunciado, a gente quer calcular a integral de linha ointC Fcdot dr aplicando o teorema de Stokes. O campo é F=(-3y,3x,z) e a curva C é a circunferência x^2+y^2=4, z=1, orientada no sentido horário vista de quem está na origem (coordenadas dextrogiras). Para usar Stokes, vamos substituir a integral de linha por uma integral de superfície do rotacional de F.

Passo 2

Calcular o rotacional de F. Lembrando que nablatimesF = (partialyFz-partialzFy,;partialzFx-partialxFz,;partialxFy-partialyFx). Aqui temos:
nablatimesF = (partialyz - partialz(3x),;partialz(-3y)-partialxz,;partialx(3x)-partialy(-3y)) = (0-0,;0-0,;3-(-3)) = (0,0,6)

Passo 3

Determinar o vetor normal n compatível com a orientação da curva. Pelo teorema de Stokes, se o dedo seguir o sentido da curva, o polegar indica n. A curva é vista como horária de quem está na origem, ou seja, de quem olha do lado de baixo do plano z=1. Escolhendo n=(0,0,1), quem olha de cima vê a curva contra-horária e quem está embaixo (na origem) vê-a horária, batendo com o enunciado.

Passo 4

Calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nablatimesF)cdotn,dS = integral duplaS 6,dS = 6 times área do disco de raio 2 = 6times (picdot 2^2) = 24pi á

Resposta

24\pi

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