Calcule as integrais de linha
ds pelo teorema de Stokes, no sentido horário como visto por uma pessoa de pé na origem, para as seguintes
e
. Suponha que as coordenadas cartesianas sejam dextrogiras.
, C é o círculo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
usando o teorema de Stokes. Aqui o campo é
, e a curva
é o círculo
, em
, orientado no sentido horário visto de quem está na origem. Vamos usar Stokes para trocar a integral de linha por uma integral de superfície do rotacional de
sobre o disco que tem de contorno
.
Passo 2
Começando a resolução, calculamos o rotacional de
pelas fórmulas
Derivando:
Logo
Passo 3
Precisamos escolher o vetor normal
à superfície (o disco em
) de modo que a orientação induzida em
seja horária vista de baixo (da origem). No teorema de Stokes, se
, o contorno é percorrido anti-horário visto de cima (lado positivo de
), ou seja, horário visto de baixo. Como a origem está abaixo do disco, basta usar
.
Passo 4
A integral de superfície fica
Separando:
Portanto o valor da integral é
.
Resposta
-\pi a^2