Calcule as integrais de linha ointC F cdot r^prime ds pelo teorema de Stokes, no sentido horário como visto por uma pessoa de pé na origem, para as seguintes F e C. Suponha que as coordenadas cartesianas sejam dextrogiras.
x^2+y^2=a^2, z=b(>0), C é o círculo

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada ointC vec Fcdot dvec r usando o teorema de Stokes. Aqui o campo é vec F=[y,xy^3,-y^3z], e a curva C é o círculo x^2+y^2=a^2, em z=b>0, orientado no sentido horário visto de quem está na origem. Vamos usar Stokes para trocar a integral de linha por uma integral de superfície do rotacional de vec F sobre o disco que tem de contorno C.

Passo 2

Começando a resolução, calculamos o rotacional de vec F=[P,Q,R] pelas fórmulas
nablatimesvec F= l(partialy R-partialz Q,;partialz P-partialx R,;partialx Q-partialy Pr)
Derivando:
partialy R=partialy(-y^3z)=-3y^2z, partialz Q=0
partialz P=0, partialx R=0
partialx Q=partialx(xy^3)=y^3, partialy P=1
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nablatimesvec F=[-3y^2z,,0,,y^3-1]

Passo 3

Precisamos escolher o vetor normal vec n à superfície (o disco em z=b) de modo que a orientação induzida em C seja horária vista de baixo (da origem). No teorema de Stokes, se vec n=hat k, o contorno é percorrido anti-horário visto de cima (lado positivo de hat k), ou seja, horário visto de baixo. Como a origem está abaixo do disco, basta usar vec n=hat k.

Passo 4

A integral de superfície fica
integral duplaS(nablatimesvec F)cdotvec n,dS =integral duplax^2+y^2<= a^2(y^3-1),dA
Separando:
integral dupladiscoy^3,dA=0(por simetria em y),
integral dupladisco1,dA=pi a^2
Portanto o valor da integral é
0-pi a^2=-pi a^2.

Resposta

-\pi a^2

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