Calcule as integrais de linha
ds pelo teorema de Stokes, no sentido horário como visto por uma pessoa de pé na origem, para as seguintes
e
. Suponha que as coordenadas cartesianas sejam dextrogiras.
é a interseção de
e
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
para
ao longo da curva de interseção de
com o plano
, orientada no sentido horário visto da origem. Vamos usar o Teorema de Stokes, que conecta essa integral à integral de superfície do rotacional de
.
Passo 2
O Teorema de Stokes diz que
onde
é uma superfície com fronteira
e
é o vetor normal orientado segundo a regra da mão direita compatível com a orientação de
.
Passo 3
Para começar, calculamos o rotacional de
:
Passo 4
Parametrizamos a superfície
pelo disco
no plano:
com as derivadas:
O vetor normal não unitário é
Verificamos que, com esse
, a orientação de
induzida é horário visto da origem, conforme pedido.
Passo 5
Então o integrando fica:
Logo
Passo 6
Para avaliar, usemos coordenadas polares
:
Integramos em
:
e então em
: