Calcule as integrais de linha ointC F cdot r^prime ds pelo teorema de Stokes, no sentido horário como visto por uma pessoa de pé na origem, para as seguintes F e C. Suponha que as coordenadas cartesianas sejam dextrogiras.
x^2+y^2=1 é a interseção de z=y+1 e

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha ointCvec Fcdot dvec r para
vec F=[y,,z^2,,x^3] ao longo da curva de interseção de
x^2+y^2=1 com o plano z=y+1, orientada no sentido horário visto da origem. Vamos usar o Teorema de Stokes, que conecta essa integral à integral de superfície do rotacional de vec F.

Passo 2

O Teorema de Stokes diz que
ointCvec Fcdot dvec r =integral duplaS (nablatimesvec F)cdotvec n,dS
onde S é uma superfície com fronteira C e vec n é o vetor normal orientado segundo a regra da mão direita compatível com a orientação de C.

Passo 3

Para começar, calculamos o rotacional de vec F=[P,Q,R]=[y,z^2,x^3]:
nablatimesvec F =l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,,partial Ppartial z-partial Rpartial x,,partial Qpartial x-partial Ppartial yr) =(-2z,,-3x^2,,-1)

Passo 4

Parametrizamos a superfície S pelo disco x^2+y^2<=1 no plano:
vec r(x,y)=(x,,y,,y+1),
com as derivadas:
vec rx=(1,0,0), vec ry=(0,1,1)
O vetor normal não unitário é
vec rxtimesvec ry=(1,0,0)times(0,1,1)=(0,-1,1)
Verificamos que, com esse vec n=vec rxtimesvec ry, a orientação de C induzida é horário visto da origem, conforme pedido.

Passo 5

Então o integrando fica:
(nablatimesvec F)cdot(vec rxtimesvec ry) =(-2z,,-3x^2,,-1)cdot(0,-1,1) =3x^2-1
Logo
ointCvec Fcdot dvec r =integral duplax^2+y^2<=1(3x^2-1),dA

Passo 6

Para avaliar, usemos coordenadas polares x=rcostheta,;y=rsintheta:
integral dupla(3x^2-1),dA =integral0^2piintegral0^1l(3r^2cos^2theta-1r)r,dr,dtheta
Integramos em r:
integral0^1(3r^3cos^2theta-r),dr =34cos^2theta-12,
e então em theta:
integral0^2pil(34cos^2theta-12r)dtheta =34pi-pi =-pi4

Resposta

-tfracpi4

Exercícios relacionados