Calcule as integrais de linha
ds pelo teorema de Stokes, no sentido horário como visto por uma pessoa de pé na origem, para as seguintes
e
. Suponha que as coordenadas cartesianas sejam dextrogiras.
, C é a interseção de
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha $\oint_{C} ,\vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r}$ (eles escreveram $\vec{r}^{\prime}$ ds, mas entendemos como $\mathrm{d}\vec{r}$), aplicando o teorema de Stokes. O campo é
e a curva $C$ é a interseção da esfera $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ com o paraboloide $z = y^2$. Vamos usar que coordenadas cartesianas são dextrógiras e a orientação de $C$ é horária vista da origem.
Passo 2
Para aplicar o teorema de Stokes, lembramos que
$$
\oint_{C} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = \\iint_{S} (\nabla \times \vec{F}) \cdot \hat{n} , dS
$$
\oint_{C} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = \\iint_{S} (\nabla \times \vec{F}) \cdot \hat{n} , dS
$$
e escolhemos como superfície $!S$ a parte do paraboloide $z = y^2$ limitada pela curva $C$. A fronteira de $!S$ é exatamente $C$.
Passo 3
Precisamos então calcular o rotacional de $\vec{F}$. Usando a definição , obtemos
$$
\nabla \times \vec{F} = [0,0,0].
$$
\nabla \times \vec{F} = [0,0,0].
$$
Passo 4
Como o rotacional é zero em toda parte, o integrando do teorema de Stokes é zero. Logo
$$
\iint_{S} (\nabla \times \vec{F}) \cdot \hat{n} , dS = 0.
$$
\iint_{S} (\nabla \times \vec{F}) \cdot \hat{n} , dS = 0.
$$
Passo 5
Pela igualdade do teorema de Stokes, concluímos que
$$
\oint_{C} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = 0.
$$
\oint_{C} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = 0.
$$
Resposta
0