Calcule as integrais de linha ointC F cdot r^prime ds pelo teorema de Stokes, no sentido horário como visto por uma pessoa de pé na origem, para as seguintes F e C. Suponha que as coordenadas cartesianas sejam dextrogiras.
x^2+y^2+z^2=4, C é a interseção de z=y^2 e

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha $\oint_{C} ,\vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r}$ (eles escreveram $\vec{r}^{\prime}$ ds, mas entendemos como $\mathrm{d}\vec{r}$), aplicando o teorema de Stokes. O campo é ointC ,F cdot dr e a curva $C$ é a interseção da esfera $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ com o paraboloide $z = y^2$. Vamos usar que coordenadas cartesianas são dextrógiras e a orientação de $C$ é horária vista da origem.

Passo 2

Para aplicar o teorema de Stokes, lembramos que
$$
\oint_{C} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = \\iint_{S} (\nabla \times \vec{F}) \cdot \hat{n} , dS
$$
e escolhemos como superfície $!S$ a parte do paraboloide $z = y^2$ limitada pela curva $C$. A fronteira de $!S$ é exatamente $C$.

Passo 3

Precisamos então calcular o rotacional de $\vec{F}$. Usando a definição , obtemos
$$
\nabla \times \vec{F} = [0,0,0].
$$

Passo 4

Como o rotacional é zero em toda parte, o integrando do teorema de Stokes é zero. Logo
$$
\iint_{S} (\nabla \times \vec{F}) \cdot \hat{n} , dS = 0.
$$

Passo 5

Pela igualdade do teorema de Stokes, concluímos que
$$
\oint_{C} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = 0.
$$

Resposta

0

Exercícios relacionados