Considere a função
limitada pelo eixo
e no intervalo [1, 2]. Calcule:
O comprimento de arco da curva
.
O comprimento de arco da curva
Passo 1
Temos a função
definida em
, e queremos achar o comprimento de arco da curva. O conteúdo aqui é o comprimento de arco de uma curva
, e vamos precisar usar a fórmula
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Passo 3
Substituindo na fórmula de comprimento de arco, obtemos
Passo 4
Para resolver
, fazemos a substituição
, de modo que
e
. Assim:
Usamos a fórmula padrão
e, portanto,
Revertendo
, temos a antiderivada:
Passo 5
Agora avaliamos de
até
:
Fatorando, obtemos a forma final abaixo.
Resposta
\displaystyle L=\sqrt{17}-\frac{\sqrt5}{2}+\frac{1}{4}\ln!\Bigl(\frac{4+\sqrt{17}}{2+\sqrt5}\Bigr)