Considere a função f(x)=x^2-1 limitada pelo eixo x e no intervalo [1, 2]. Calcule:
O comprimento de arco da curva f.

Passo 1

Temos a função f(x)=x^2-1 definida em [1,2], e queremos achar o comprimento de arco da curva. O conteúdo aqui é o comprimento de arco de uma curva y=f(x), e vamos precisar usar a fórmula
L=integrala^b raiz1+l(f'(x)r)^2,dx

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de f:
f'(x)=ddxl(x^2-1r)=2x

Passo 3

Substituindo na fórmula de comprimento de arco, obtemos
L=integral1^2 raiz1+l(2xr)^2,dx=integral1^2 raiz1+4x^2,dx

Passo 4

Para resolver integralraiz1+4x^2,dx, fazemos a substituição u=2x, de modo que du=2,dx e dx=tfracdu2. Assim:
integralraiz1+4x^2,dx=12integralraiz1+u^2,du
Usamos a fórmula padrão
integralraizu^2+1,du=u2raizu^2+1+12lnl(u+raizu^2+1r)+C,
e, portanto,
12integralraiz1+u^2,du=u4raizu^2+1+14lnl(u+raizu^2+1r)+C
Revertendo u=2x, temos a antiderivada:
F(x)=x2raiz4x^2+1+14lnl(2x+raiz4x^2+1r)+C

Passo 5

Agora avaliamos de x=1 até x=2:
L=F(2)-F(1)=gl(raiz17+tfrac14ln(4+raiz17)gr)-gl(tfracraiz52+tfrac14ln(2+raiz5)gr)
Fatorando, obtemos a forma final abaixo.

Resposta

\displaystyle L=\sqrt{17}-\frac{\sqrt5}{2}+\frac{1}{4}\ln!\Bigl(\frac{4+\sqrt{17}}{2+\sqrt5}\Bigr)

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