Calcule as integrais de linha ointC F cdot r^prime ds pelo teorema de Stokes, no sentido horário como visto por uma pessoa de pé na origem, para as seguintes F e C. Suponha que as coordenadas cartesianas sejam dextrogiras.
(0,0,1),(1,0,1), em torno do triângulo de vértices e(1,1,1)

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral de linha fechada ointCvec Fcdot dvec r para vec F=[y^2,,x^2,,z-x] ao longo do triângulo de vértices (0,0,1), (1,0,1) e (1,1,1). O conteúdo principal é o Teorema de Stokes, que nos diz que
ointCvec Fcdot dvec r=integral duplaS(nablatimesvec F)cdotvec n,dS,
onde S é a superfície limitada por C e vec n é a normal orientada conforme o sentido de percurso de C.

Passo 2

Calculando o rotor de vec F:
nablatimesvec F= i&j&k partialx&partialy&partialz y^2&x^2&z-x =(0,;1,;2x-2y)

Passo 3

Determinando a normal vec n: o triângulo está no plano z=1, então as normais possíveis são pmk. Como C é percorrido no sentido horário visto da origem (que está abaixo do plano z=1), para que o contorno seja horário, a normal deve apontar para baixo, ou seja
vec n=-k=[0,0,-1]

Passo 4

Montando a integral de superfície:
(nablatimesvec F)cdotvec n=(0,1,2x-2y)cdot(0,0,-1)=2y-2x,
e como o plano é horizontal, dS=dA. A projeção no plano xy é o triângulo com vértices (0,0),(1,0),(1,1), descrito por
0<= x<=1, 0<= y<= x
Assim
ointCvec Fcdot dvec r=integralx=0^1integraly=0^x(2y-2x),dy,dx

Passo 5

Calculando a integral dupla:
integral0^1l[integral0^x(2y-2x),dyr]dx =integral0^1l(x^2-2x^2r)dx =integral0^1(-x^2)dx=-x^33|0^1=-13

Resposta

-\u200b\tfrac{1}{3}

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