Exercício 2
Avalie se as sequências
e
são, ou não, convergentes.
Passo 1
O exercício quer saber se as sequências
e
são convergentes. O conteúdo envolvido é análise de limites de sequências, usando teoremas básicos de limite (regra de negligência) e o teste da razão.
Passo 2
Para
, note que o numerador
oscila entre
e
mas o denominador cresce para infinito. Assim temos
["$$
\left|x_n\right| = \frac{1}{n} \to 0$$",“Por comparação, se o módulo de
tende a zero, então
também tende a zero. Logo $x_n = (-1)^n/n\to 0.]”
Passo 3
Para (x_n = \tfrac{n!}{n^n}$, usamos o teste da razão. Defina
.
Passo 4
Calculamos a razão entre termos consecutivos:
["$$
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \\frac{(n+1)!/(n+1){n+1}}{n!/nn} = \\frac{(n+1)\,nn}{(n+1){n+1}} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n
$$",“Note que \lim_{n\to\infty} \left(\tfrac{n}{n+1}\right)^n = e^{-1} < 1. Pelo teste da razão, isso implica que . Portanto (x_n = n!/n^n \to 0.]”]
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \\frac{(n+1)!/(n+1){n+1}}{n!/nn} = \\frac{(n+1)\,nn}{(n+1){n+1}} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n
$$",“Note que \lim_{n\to\infty} \left(\tfrac{n}{n+1}\right)^n = e^{-1} < 1. Pelo teste da razão, isso implica que
Passo 5
Concluindo, ambas as sequências convergem e o limite de cada uma é zero.