Exercício 2

Avalie se as sequências xn=(-1)^nn e xn=n!n^n são, ou não, convergentes.

Passo 1

O exercício quer saber se as sequências xn = (-1)^nn e xn = n!n^n são convergentes. O conteúdo envolvido é análise de limites de sequências, usando teoremas básicos de limite (regra de negligência) e o teste da razão.

Passo 2

Para xn = tfrac(-1)^nn, note que o numerador (-1)^n oscila entre 1 e -1 mas o denominador cresce para infinito. Assim temos
["$$
\left|x_n\right| = \frac{1}{n} \to 0$$",“Por comparação, se o módulo de |xn| = 1n to 0 tende a zero, então xn também tende a zero. Logo $x_n = (-1)^n/n\to 0.]”

Passo 3

Para (x_n = \tfrac{n!}{n^n}$, usamos o teste da razão. Defina , usamos o teste da razão Defina .

Passo 4

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
["$$
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \\frac{(n+1)!/(n+1){n+1}}{n!/nn} = \\frac{(n+1)\,nn}{(n+1){n+1}} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n
$$",“Note que \lim_{n\to\infty} \left(\tfrac{n}{n+1}\right)^n = e^{-1} < 1. Pelo teste da razão, isso implica que an+1an = (n+1)!/(n+1)^n+1n!/n^n = (n+1),n^n(n+1)^n+1 = (nn+1)^n . Portanto (x_n = n!/n^n \to 0.]”]

Passo 5

Concluindo, ambas as sequências convergem e o limite de cada uma é zero.

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