A função é dada por partes: para x<0 temos f(x)=e^x-1x, em x=0 f(0)=1, e para x>0 f(x)=cos x-1x. O conteúdo necessário envolve limites laterais e continuidade em x=0, sem usar regra de L’Hospital, mas sim séries de Taylor próximas a zero.
Passo 2
Pelo próprio enunciado, em x=0 a definição de f é f(0)=1.
Passo 3
Para x<0, calculamos limxto0^-f(x)=limxto0^-e^x-1x. Usando a série de Taylor e^x=1+x+tfracx^22+cdots obtemos
e^x-1x=x+tfracx^22+cdotsx=1+tfracx2+cdots
e portanto limxto0^-f(x)=1.
Passo 4
Para x>0, calculamos limxto0^+f(x)=limxto0^+cos x-1x. Usando a série cos x=1-tfracx^22+cdots obtemos
cos x-1x=-tfracx^22+cdotsx=-tfracx2+cdots
e portanto limxto0^+f(x)=0.
Passo 5
Como os limites laterais são diferentes (1 à esquerda e 0 à direita), o limite limxto0f(x) não existe.
Uma função só é contínua em x=0 se o limite existir e coincidir com f(0)=1. Aqui o limite não existe (ou seja, não coincide com 1), logo f não é contínua em x=0.