(2,0 pontos) Dada a função le^x-1x, se x<0 1, se x=0 e o ponto de abscissa x=0 , pede- cos x-1x, se x>0 se, sem utilizar a regra de L’Hospital:
(a) Determine f(0).
(b) Calcule lim x 0^- f(x).
© Calcule lim x 0^+ f(x).
(d) Determine lim x 0 f(x), caso exista. Se não existir, justifique.
(e) A função dada é contínua em x=0 ? Justifique.

Passo 1

A função é dada por partes: para x<0 temos f(x)= e^x-1x, em x=0 f(0)=1, e para x>0 f(x)= cos x-1x. O conteúdo necessário envolve limites laterais e continuidade em x=0, sem usar regra de L’Hospital, mas sim séries de Taylor próximas a zero.

Passo 2

Pelo próprio enunciado, em x=0 a definição de f é f(0)=1.

Passo 3

Para x<0, calculamos limxto0^-f(x)=limxto0^-e^x-1x. Usando a série de Taylor e^x=1+x+tfracx^22+cdots obtemos
e^x-1x=x+tfracx^22+cdotsx=1+tfracx2+cdots
e portanto limxto0^-f(x)=1.

Passo 4

Para x>0, calculamos limxto0^+f(x)=limxto0^+cos x-1x. Usando a série cos x=1-tfracx^22+cdots obtemos
cos x-1x=-tfracx^22+cdotsx=-tfracx2+cdots
e portanto limxto0^+f(x)=0.

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes (1 à esquerda e 0 à direita), o limite limxto0f(x) não existe.
Uma função só é contínua em x=0 se o limite existir e coincidir com f(0)=1. Aqui o limite não existe (ou seja, não coincide com 1), logo f não é contínua em x=0.

Resposta

(a) 1; (b) 1; © 0; (d) não existe (limites laterais distintos); (e) não é contínua em x=0.

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