Calcule as integrais de linha
ds pelo teorema de Stokes, no sentido horário como visto por uma pessoa de pé na origem, para as seguintes
e
. Suponha que as coordenadas cartesianas sejam dextrogiras.
, em torno do triângulo de vértices
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
, onde
e
é o triângulo com vértices
, orientado no sentido horário como visto da origem. O conteúdo principal é o Teorema de Stokes, que converte essa integral de linha em uma integral de superfície do rotacional de
.
Passo 2
Vamos calcular o rotacional de
. Usando a definição
para
, achamos
Passo 3
Precisamos escolher um vetor normal
à superfície triangular que respeite a orientação de
. Como o triângulo está no plano
e a orientação é horário visto da origem (que está abaixo do plano), o normal apontando para cima
gera exatamente esse sentido de contorno.
Passo 4
Pelo Teorema de Stokes temos
Passo 5
Como
, a integral de superfície reduz-se à área do triângulo.
Passo 6
O triângulo projetado no plano
tem vértices em
, cuja área é
. Portanto,