Calcule as integrais de linha ointC F cdot r^prime ds pelo teorema de Stokes, no sentido horário como visto por uma pessoa de pé na origem, para as seguintes F e C. Suponha que as coordenadas cartesianas sejam dextrogiras.
F=[z, x, y], em torno do triângulo de vértices (0,0,1),(1,0,1) e (1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada ointC Fcdot d r, onde F=[z,,x,,y] e C é o triângulo com vértices (0,0,1),(1,0,1),(1,1,1), orientado no sentido horário como visto da origem. O conteúdo principal é o Teorema de Stokes, que converte essa integral de linha em uma integral de superfície do rotacional de F.

Passo 2

Vamos calcular o rotacional de F. Usando a definição nablatimes F=(partialy R-partialz Q,;partialz P-partialx R,;partialx Q-partialy P) para F=(P,Q,R)=(z,x,y), achamos
nablatimes F=(1-0,;1-0,;1-0)=(1,1,1)

Passo 3

Precisamos escolher um vetor normal n à superfície triangular que respeite a orientação de C. Como o triângulo está no plano z=1 e a orientação é horário visto da origem (que está abaixo do plano), o normal apontando para cima (0,0,1) gera exatamente esse sentido de contorno.

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes temos
ointC Fcdot d r = integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS

Passo 5

Como (nablatimes F)cdot n=(1,1,1)cdot(0,0,1)=1, a integral de superfície reduz-se à área do triângulo.

Passo 6

O triângulo projetado no plano xy tem vértices em (0,0),(1,0),(1,1), cuja área é tfrac12times1times1=tfrac12. Portanto,
ointC Fcdot d r = 1times12 = 12

Resposta

tfrac12

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