Mostre como encontrar a derivada segunda (f^prime prime(x)) das funções abaixo
f(x)=2 x e^x em x=2

Passo 1

A questão pede para calcular a segunda derivada de f(x)=2x e^x no ponto x=2. O assunto é derivada de produto e derivada de exponencial; vamos usar a regra do produto e as derivadas básicas.

Passo 2

Usando a regra do produto em f(x)=2xcdot e^x, temos
f'(x)=(2x)',e^x + 2x,(e^x)' = 2e^x + 2x e^x = 2e^x(1 + x)

Passo 3

Para obter f''(x), derivamos f'(x)=2e^x(1 + x) novamente por produto, com u(x)=2e^x e v(x)=1+x:
f''(x)=u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2e^x(1 + x) + 2e^x = 2e^x(x + 2)

Passo 4

Finalmente, substituindo x=2 em f''(x)=2e^x(x+2):
f''(2)=2e^2(2+2)=8e^2

Resposta

8e^2

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