Calcule as integrais de linha sobre as curvas dadas.
é a parábola
de
a
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a integral de linha para o campo vetorial
ao longo da curva
, que é a parábola
indo de
até
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, como parametrizar a curva e como aplicar essa parametrização na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Essencialmente, ela calcula o “trabalho” feito por um campo vetorial ao longo de uma curva. Matematicamente, é representada por:
Onde
é o campo vetorial e
é o vetor diferencial ao longo da curva.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a curva
. Como a curva é a parábola
, podemos usar
como parâmetro. Então, podemos definir:
Dessa forma,
varia de
a
, já que os pontos de início e fim são
e
, respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
em relação a
, que será
:
Essa derivada representa o vetor tangente à curva em cada ponto.
Passo 5
Agora, substituímos
no campo vetorial
:
Vamos simplificar o denominador:
Mas para facilitar, vamos manter o denominador como está para não complicar demais a conta.
Passo 6
A integral de linha fica assim:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 8
Observando o denominador, percebemos que
. Então:
Portanto, a expressão dentro da integral simplifica para:
Passo 9
Vamos dividir o numerador pelo denominador:
Passo 10
Agora, a integral fica:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Passo 11
Primeira integral:
Passo 12
Segunda integral:
Aqui, fazemos a substituição
, então
, o que nos dá
. Portanto:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 13
Somando as duas integrais:
Resposta
A integral de linha é igual a 0.