Calcule as integrais de linha sobre as curvas dadas.
F(x, y)=xraizx^2+y^2 i+yraizx^2+y^2 j, C é a parábola y-1-x^2=0 de (-1,2) a (1,2)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral de linha para o campo vetorial F(x, y) = xraizx^2+y^2 , i + yraizx^2+y^2 , j ao longo da curva C , que é a parábola y = 1 + x^2 indo de (-1, 2) até (1, 2) . Para isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, como parametrizar a curva e como aplicar essa parametrização na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Essencialmente, ela calcula o “trabalho” feito por um campo vetorial ao longo de uma curva. Matematicamente, é representada por:
integralC F cdot dr
Onde F é o campo vetorial e dr é o vetor diferencial ao longo da curva.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a curva C . Como a curva é a parábola y = 1 + x^2 , podemos usar x como parâmetro. Então, podemos definir:
r(x) = x , i + (1 + x^2) , j
Dessa forma, x varia de -1 a 1 , já que os pontos de início e fim são (-1, 2) e (1, 2) , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de r(x) em relação a x , que será r'(x) :
r'(x) = ddx [x , i + (1 + x^2) , j] = i + 2x , j
Essa derivada representa o vetor tangente à curva em cada ponto.

Passo 5

Agora, substituímos r(x) no campo vetorial F :
F(r(x)) = xraizx^2 + (1 + x^2)^2 , i + 1 + x^2raizx^2 + (1 + x^2)^2 , j
Vamos simplificar o denominador:
raizx^2 + (1 + x^2)^2 = raizx^2 + 1 + 2x^2 + x^4 = raiz1 + 3x^2 + x^4
Mas para facilitar, vamos manter o denominador como está para não complicar demais a conta.

Passo 6

A integral de linha fica assim:
integralC F cdot dr = integral-1^1 F(r(x)) cdot r'(x) , dx
Substituindo os valores que encontramos:
integral-1^1 ( xraizx^2 + (1 + x^2)^2 cdot 1 + 1 + x^2raizx^2 + (1 + x^2)^2 cdot 2x ) dx

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
xraiz1 + 3x^2 + x^4 + 2x(1 + x^2)raiz1 + 3x^2 + x^4 = x + 2x(1 + x^2)raiz1 + 3x^2 + x^4
= x + 2x + 2x^3raiz1 + 3x^2 + x^4 = 3x + 2x^3raiz1 + 3x^2 + x^4

Passo 8

Observando o denominador, percebemos que 1 + 3x^2 + x^4 = (x^2 + 1)(x^2 + 1) = (x^2+1)^2 . Então:
raiz1 + 3x^2 + x^4 = raiz(x^2+1)^2 = x^2 + 1
Portanto, a expressão dentro da integral simplifica para:
3x + 2x^3x^2 + 1

Passo 9

Vamos dividir o numerador pelo denominador:
3x + 2x^3x^2 + 1 = 2x + 3x - 2xx^2 + 1 = 2x + xx^2 + 1

Passo 10

Agora, a integral fica:
integral-1^1 ( 2x + xx^2 + 1 ) dx = integral-1^1 2x , dx + integral-1^1 xx^2 + 1 , dx
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 11

Primeira integral:
integral-1^1 2x , dx = 2 [ x^22 ]-1^1 = [ x^2 ]-1^1 = (1^2) - ((-1)^2) = 1 - 1 = 0

Passo 12

Segunda integral:
integral-1^1 xx^2 + 1 , dx
Aqui, fazemos a substituição u = x^2 + 1 , então du = 2x , dx , o que nos dá du2 = x , dx . Portanto:
integral xx^2 + 1 , dx = 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C = 12 ln(x^2 + 1) + C
Aplicando os limites de -1 a 1 :
12 [ ln(1^2 + 1) - ln((-1)^2 + 1) ] = 12 (ln 2 - ln 2) = 12 (0) = 0

Passo 13

Somando as duas integrais:
0 + 0 = 0

Resposta

A integral de linha é igual a 0.

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