Dada a função.
f(x)=x^3-12 x+1
Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^3-12x+1
e pede os intervalos em que f é crescente ou decrescente. Para isso vamos usar o teste da primeira derivada: calcular f'(x), achar onde f'(x)=0 e estudar o sinal de f'(x).

Passo 2

Calcular a derivada de f. Usando a regra d(x^n)/dx = n,x^n-1,
f'(x)=3x^2-12
Fatorando,
f'(x)=3l(x^2-4r)=3(x-2)(x+2)

Passo 3

Determinar os pontos críticos, onde f'(x)=0:
3(x-2)(x+2)=0 Longrightarrow x-2=0; ou ;x+2=0 Longrightarrow x=2,;-2

Passo 4

Estudar o sinal de f'(x) nos intervalos formados por -2 e 2:
para x<-2: x-2<0 e x+2<0 implies (x-2)(x+2)>0 implies f'(x)>0.
para -2<x<2: x-2<0 e x+2>0 implies (x-2)(x+2)<0 implies f'(x)<0.
para x>2: x-2>0 e x+2>0 implies (x-2)(x+2)>0 implies f'(x)>0.

Passo 5

Como f'(x)>0 em (-infty,-2) e em (2,infty), f é crescente nesses intervalos. Como f'(x)<0 em (-2,2), f é decrescente aí.

Resposta

f é crescente em ,(-infty,-2)cup(2,infty)
f é decrescente em (-2,2)

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