Considere a EDO não-homogênea y^prime+2 y=4 e^-x e o problema de valor inicial (PVI) y(0)=2. Resolva esse PVI, numericamente, usando o método de Runge-Kutta de quarta ordem para x in[0,1], adotando um tamanho de passo h=0.2.

Passo 1

O problema pede a solução numérica do PVI
y' + 2y = 4e^-x, y(0)=2
em xin[0,1] com passo h=0,2, usando o método de Runge–Kutta de 4ª ordem.

Passo 2

Definimos
f(x,y)=4e^-x-2y
No método de Runge–Kutta de 4ª ordem, a cada passo partindo de (xn,yn) calculamos
k1 &= f(xn,yn), k2 &= fl(xn+tfrach2,,yn+tfrach2k1r), k3 &= fl(xn+tfrach2,,yn+tfrach2k2r), k4 &= f(xn+h,,yn+h,k3),
e depois
yn+1 ;=; yn ;+;h6l(k1 +2k2+2k3 +k4r)

Passo 3

Para o primeiro passo ( x0=0, y0=2, h=0,2):
k1 &= f(0,2)=4-4=0, k2 &= fl(0,1,,2+0,1cdot0r) =4e^-0,1-2cdot2approx -0,3807, k3 &= fl(0,1,,2+0,1cdot(-0,3807)r) =4e^-0,1-2cdot1,9619approx -0,3045, k4 &= fl(0,2,,2+0,2cdot(-0,3045)r) =4e^-0,2-2cdot1,9391approx -0,6033
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y1 = 2 + 0,26l(0 +2(-0,3807)+2(-0,3045)+(-0,6033)r) approx 1,9342

Passo 4

Repetindo o mesmo esquema para os passos seguintes, obtemos:
y(0,4)&approx1,7825, y(0,6)&approx1,5928, y(0,8)&approx1,3935, y(1,0)&approx1,2008

Passo 5

Organizando todos os resultados:
x mid y (0,0) mid (2,0) mid (1,934) mid (1,7825) mid (1,5928) mid (1,3935) mid (1,2008)

Resposta

y(0)=2,0000 y(0,2)approx1,9342 y(0,4)approx1,7825 y(0,6)approx1,5928 y(0,8)approx1,3935 y(1,0)approx1,2008

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