Calcule as integrais listadas abaixo,usando integração por partes:

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral arcsin xx^2,dx
usando integração por partes.
Para isso vamos precisar da fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e depois resolver a integral que surgir por substituição trigonométrica.

Passo 2

Escolhemos
u = arcsin x, dv = x^-2,dx
Então
du = 1raiz1 - x^2,dx, v = integral x^-2,dx = -,x^-1

Passo 3

Aplicando integração por partes:
integral arcsin xx^2,dx = u,v - integral v,du = -arcsin xx - integral l(-x^-1r),1raiz1 - x^2,dx
Logo
integral arcsin xx^2,dx = -arcsin xx + integral dxx,raiz1 - x^2

Passo 4

Definimos
I = integral dxx,raiz1 - x^2
e usamos a substituição trigonométrica
x = sintheta, dx = costheta,dtheta, raiz1 - x^2 = costheta
Então
I = integral costheta,dthetasintheta;costheta = integral dthetasintheta = integral csctheta,dtheta

Passo 5

Sabemos que
integral csctheta,dtheta = lnl|tan(tfractheta2)r| + C
Como sintheta = x e costheta = raiz1 - x^2, temos
tan!l(tfractheta2r) = sintheta1 + costheta = x1 + raiz1 - x^2
Logo
I = lnl|x1 + raiz1 - x^2r| + C

Passo 6

Voltando à integral original:
integral arcsin xx^2,dx = -arcsin xx + lnl|x1 + raiz1 - x^2r| + C

Resposta

boxed integral arcsin xx^2,dx = -arcsin xx + ln!l|x1 + raiz1 - x^2r| + C

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