Exercício 20. (Apostol, capítulo 8.22, exercício 14) Sejam
e
dados por
a) Calcule o jacobiano
e
.
b) Calcule a composição
.
c) Calcule
.
b) Calcule a composição
c) Calcule
Passo 1
O enunciado define duas funções
e pede:
(a) os jacobianos e
;
(b) a composição ;
(c) o valor de .
Para isso vamos usar derivadas parciais, montar as matrizes jacobianas e aplicar a regra da cadeia.
(a) os jacobianos
(b) a composição
(c) o valor de
Para isso vamos usar derivadas parciais, montar as matrizes jacobianas e aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Cálculo de
. Definindo
e
, temos
Logo,
Logo,
Passo 3
Cálculo de
. Definindo
e
, obtemos
Portanto,
Portanto,
Passo 4
Composição
. Se
então
então
Passo 5
Jacobian de
pela regra da cadeia:
ou seja, se em
substituímos
e
, obtemos uma matriz
que se multiplica pela
de
, resultando em
.
Passo 6
Avaliação em
. Primeiro
Então em
com
temos
e
Multiplicando,
Resposta
(a)
(b)
(c)