Exercício 20. (Apostol, capítulo 8.22, exercício 14) Sejam f: R^2 R^2 e g: R^3 R^2 dados por
f(x, y)=(e^x+2 y, sen(y+2 x)) g(u, v, w)=(u+2 v^2+3 w^3, 2 v-u^2)
a) Calcule o jacobiano J f(x, y) e J g(u, v, w).
b) Calcule a composição h(u, v, w)=f(g(u, v, w)).
c) Calcule Jh(1,-1,1).

Passo 1

O enunciado define duas funções
fcolonR^2toR^2, f(x,y)=l(e^x+2y,;sin(y+2x)r)
gcolonR^3toR^2, g(u,v,w)=l(u+2v^2+3w^3,;2v-u^2r)
e pede:
(a) os jacobianos Jf(x,y) e Jg(u,v,w);
(b) a composição h(u,v,w)=fl(g(u,v,w)r);
(c) o valor de Jh(1,-1,1).
Para isso vamos usar derivadas parciais, montar as matrizes jacobianas e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Cálculo de Jf(x,y). Definindo f1(x,y)=e^x+2y e f2(x,y)=sin(y+2x), temos
partial f1partial x=e^x+2y, partial f1partial y=2,e^x+2y
partial f2partial x=2cos(y+2x), partial f2partial y=cos(y+2x)
Logo,
Jf(x,y)= e^x+2y & 2e^x+2y[6pt] 2cos(y+2x) & cos(y+2x) ]

Passo 3

Cálculo de Jg(u,v,w). Definindo g1(u,v,w)=u+2v^2+3w^3 e g2(u,v,w)=2v-u^2, obtemos
partial g1partial u=1, partial g1partial v=4v, partial g1partial w=9w^2
partial g2partial u=-2u, partial g2partial v=2, partial g2partial w=0
Portanto,
Jg(u,v,w)= 1 & 4v & 9w^2[4pt] -2u & 2 & 0 ]

Passo 4

Composição h(u,v,w)=fl(g(u,v,w)r). Se
g(u,v,w)=(x,y)=(u+2v^2+3w^3,;2v-u^2)
então
h1(u,v,w) =e^,x+2y =e^,l(u+2v^2+3w^3r)+2l(2v-u^2r)
h2(u,v,w) =sinl(y+2xr) =sin!l((2v-u^2)+2(u+2v^2+3w^3)r)

Passo 5

Jacobian de h pela regra da cadeia:
Jh(u,v,w) =Jfl(g(u,v,w)r);cdot;Jg(u,v,w)
ou seja, se em Jf(x,y) substituímos
,x=u+2v^2+3w^3 e y=2v-u^2, obtemos uma matriz 2times2 que se multiplica pela 2times3 de Jg, resultando em 2times3.

Passo 6

Avaliação em (u,v,w)=(1,-1,1). Primeiro
g(1,-1,1) =l(1+2cdot(-1)^2+3cdot1^3,;2cdot(-1)-1^2r) =(6,-3)
Então em Jf(x,y) com (x,y)=(6,-3) temos
Jf(6,-3) = e^6+2(-3) & 2e^6+2(-3)[4pt] 2cosl(-3+2cdot6r) & cosl(-3+2cdot6r) = 1 & 2[4pt] 2cos9 & cos9
e
Jg(1,-1,1) = 1 & 4(-1) & 9cdot1^2[4pt] -2cdot1 & 2 & 0 = 1 & -4 & 9[4pt] -2 & 2 & 0
Multiplicando,
Jh(1,-1,1) =1&22cos9&cos9 1&-4&9-2&2&0 = 1-4 & -4+4 & 9+0[4pt] 2cos9-2cos9 & -8cos9+2cos9 & 18cos9+0 = -3 & 0 & 9[4pt] 0 & -6cos9 & 18cos9 ]

Resposta

(a)
Jf(x,y)= e^x+2y & 2e^x+2y[4pt] 2cos(y+2x) & cos(y+2x) , Jg(u,v,w)= 1 & 4v & 9w^2[4pt] -2u & 2 & 0
(b)
h(u,v,w)= l(e^(u+2v^2+3w^3)+2(2v-u^2),;sinl((2v-u^2)+2(u+2v^2+3w^3)r)r)
(c)
Jh(1,-1,1)= -3 & 0 & 9[4pt] 0 & -6cos9 & 18cos9 ]

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