Calcule as integrais listadas abaixo,usando integração por partes:
integral ln (x+raiz1+x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral lnl(x+raiz1+x^2r),dx
e sugere usar integração por partes, que se baseia na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
Aqui vamos escolher partes de modo a simplificar o integrando.

Passo 2

Escolhemos
u = lnl(x+raiz1+x^2r), dv = dx
Então
du = ddxlnl(x+raiz1+x^2r),dx e v = integral dv = x
Para calcular du, note que
lnl(x+raiz1+x^2r) é justamente arcsinh(x), cuja derivada é 1/raiz1+x^2. Logo
du = 1raiz1+x^2,dx

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral lnl(x+raiz1+x^2r),dx = u,v - integral v,du = xlnl(x+raiz1+x^2r) - integral xcdot1raiz1+x^2,dx

Passo 4

Falta calcular
integral xraiz1+x^2,dx
Use a substituição t = 1+x^2, então dt = 2x,dx e
integral xraiz1+x^2,dx = 12integral 1raizt,dt = 12cdot 2raizt = raiz1+x^2

Resposta

integral lnl(x+raiz1+x^2r),dx = xlnl(x+raiz1+x^2r) - raiz1+x^2 + C

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