Exercício 21. (Apostol, capítulo 8.22, exercício 15) Seja f: R^3 R^2 e g: R^3 R^3 definidos como
& f(x, y, z)=(x^2+y+z, 2 x+y+z^2) & g(u, v, w)=(u v^2 w^2, w^2 sen(v), u^2 e^v)
a) Calcule o jacobiano J f(x, y, z) e J g(u, v, w).
b) Calcule a composição h(u, v, w)=f(g(u, v, w)).
c) Calcule Jh(u, 0, w).

Passo 1

O enunciado dá duas funções
fcolon R^3toR^2, f(x,y,z)=l(x^2+y+z,;2x+y+z^2r),
gcolon R^3toR^3, g(u,v,w)=l(u,v^2,w^2,;w^2sin v,;u^2e^vr)
Pede-se:
a) os jacobianos Jf e Jg;
b) a composição h=fcirc g;
c) J h(u,0,w).
Vamos usar diferenciação parcial e a regra da cadeia para matrizes jacobianas.

Passo 2

Calcular Jf(x,y,z) tomando derivadas parciais de cada componente de f.
Para f1(x,y,z)=x^2+y+z temos
partial f1partial x=2x, partial f1partial y=1, partial f1partial z=1
Para f2(x,y,z)=2x+y+z^2 temos
partial f2partial x=2, partial f2partial y=1, partial f2partial z=2z
Logo
Jf(x,y,z) = 2x & 1 & 1 2 & 1 & 2z

Passo 3

Calcular Jg(u,v,w) tomando derivadas parciais de cada componente de g.
Para g1(u,v,w)=u,v^2,w^2
partial g1partial u=v^2w^2, partial g1partial v=2,u,v,w^2, partial g1partial w=2,u,v^2,w
Para g2(u,v,w)=w^2sin v
partial g2partial u=0, partial g2partial v=w^2cos v, partial g2partial w=2,w,sin v
Para g3(u,v,w)=u^2e^v
partial g3partial u=2u,e^v, partial g3partial v=u^2e^v, partial g3partial w=0
Portanto
Jg(u,v,w) = v^2w^2 & 2u,v,w^2 & 2u,v^2w 0 & w^2cos v & 2wsin v 2u,e^v & u^2e^v & 0

Passo 4

Escrever h(u,v,w)=fl(g(u,v,w)r). Chamando
g1=u,v^2,w^2, g2=w^2sin v, g3=u^2e^v,
temos
h1(u,v,w) = g1^2+g2+g3 =(u,v^2,w^2)^2+w^2sin v+u^2e^v,
h2(u,v,w) =2,g1+g2+g3^2 =2,u,v^2,w^2+w^2sin v+(u^2e^v)^2 =2u,v^2w^2+w^2sin v+u^4e^2v

Passo 5

Calcular J h(u,0,w) via regra da cadeia
Jh(u,v,w)=Jfl(g(u,v,w)r);cdot;Jg(u,v,w),
e depois avaliar em v=0. Primeiro g(u,0,w)=(0,0,u^2), então
Jfl(g(u,0,w)r) = Jf(0,0,u^2) = 0 & 1 & 1 2 & 1 & 2u^2
Em seguida, em v=0
Jg(u,0,w) = 0 & 0 & 0 0 & w^2 & 0 2u & u^2 & 0
Multiplicando as matrizes 2times3 e 3times3 obtemos
Jh(u,0,w) = 0 & 1 & 1 2 & 1 & 2u^2 0 & 0 & 0 0 & w^2 & 0 2u & u^2 & 0 = 2u & w^2+u^2 & 0 4u^3 & w^2+2u^4 & 0

Resposta

Jf(x,y,z)=2x&1&12&1&2z
Jg(u,v,w)=v^2w^2&2u,v,w^2&2u,v^2w0&w^2cos v&2wsin v2u,e^v&u^2e^v&0
h(u,v,w)=l((u,v^2w^2)^2+w^2sin v+u^2e^v,;2u,v^2w^2+w^2sin v+u^4e^2vr)
Jh(u,0,w)=2u&w^2+u^2&04u^3&w^2+2u^4&0

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