Exercício 21. (Apostol, capítulo 8.22, exercício 15) Seja
e
definidos como
a) Calcule o jacobiano
e
.
b) Calcule a composição
.
c) Calcule
.
b) Calcule a composição
c) Calcule
Passo 1
O enunciado dá duas funções
Pede-se:
a) os jacobianos e
;
b) a composição ;
c) .
Vamos usar diferenciação parcial e a regra da cadeia para matrizes jacobianas.
a) os jacobianos
b) a composição
c)
Vamos usar diferenciação parcial e a regra da cadeia para matrizes jacobianas.
Passo 2
Calcular
tomando derivadas parciais de cada componente de
.
Para temos
Para
Para
temos
Logo
Passo 3
Calcular
Jg(u,v,w) tomando derivadas parciais de cada componente de
g .
Parag1(u,v,w)=u,v^2,w^2
Para
Para
g2(u,v,w)=w^2sin v
Para
g3(u,v,w)=u^2e^v
Portanto
Passo 4
Escrever
h(u,v,w)=fl(g(u,v,w)r) . Chamando
temos
Passo 5
Calcular
J h(u,0,w) via regra da cadeia
e depois avaliar em
v=0 . Primeiro
g(u,0,w)=(0,0,u^2) , então
Em seguida, em
v=0
Multiplicando as matrizes
2times3 e
3times3 obtemos