Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(10) integral cos ^3 x sin x d x

Passo 1

Ok, vamos resolver a integral usando o método da substituição. Esse método é útil quando a integral tem uma função dentro de outra função, facilitando a resolução. Aqui, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, observe que temos u = cos x multiplicando . Vamos escolher . Isso porque o derivada de é , que aparece no nosso integrando. Então, definimos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = -sin x em relação a du = -sin x , dx :
-du = sin x , dx
Isso significa que:
Ou, reorganizando:

Passo 4

Vamos substituir integral cos^3 x sin x , dx = integral u^3 (-du) e -integral u^3 , du na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^3 , du = u^44 + C . A integral de -integral u^3 , du = -u^44 + C em relação a é:
Portanto:

Passo 6

Finalmente, vamos voltar para a variável original -u^44 + C = -(cos x)^44 + C substituindo :

Resposta

A integral -cos^4 x4 + C é igual a:

Exercícios relacionados