Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(23) integral cos x d x2 sin x+3

Passo 1

Vamos calcular a integral usando o método da substituição. Aqui, estamos trabalhando com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver, precisaremos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observamos que no denominador temos u = 2 sin x + 3 . Vamos chamar esse denominador de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2 cos x em relação a du = 2 cos x , dx para substituir cos x , dx = du2 na integral. Derivando :
Isso significa que:

Passo 4

Substituindo integral cos x , dx2 sin x + 3 = integral du2u = 12 integral duu e 12 ln |u| + C na integral original, temos:
12 ln |2 sin x + 3| + C
A integral de em relação a é , então:
Substituindo de volta para :

Resposta

A integral é igual a .

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