Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
integral (a^x-b^x)^2a^x b^x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral l(a^x-b^xr)^2a^xb^x,dx
usando substituição. Aqui lidamos com funções exponenciais e suas derivadas, e vamos usar uma substituição que transforme esse quociente de potências numa função racional simples em u.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = a^xb^x = l(abr)^x
Diferenciando em relação a x, temos
du = l(abr)^xln!l(abr),dx Longrightarrow dx = duu,ln!l(a/br)

Passo 3

Reescrevendo o integrando em termos de u:
(a^x-b^x)^2a^xb^x = l(u,b^x-b^xr)^2a^xb^x = b^2x(u-1)^2a^xb^x = b^xa^x(u-1)^2 = 1u(u-1)^2 = u - 2 + 1u
Logo o integral vira
integral (a^x-b^x)^2a^xb^x,dx = integrall(u - 2 + tfrac1ur)duu,ln(a/b) = 1ln(a/b)integrall(1 - 2u + 1u^2r),du

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integrall(1 - 2u + 1u^2r),du = u - 2ln|u| - 1u + C
Portanto,
integral (a^x-b^x)^2a^xb^x,dx = 1ln(a/b)l(u - 2ln|u| - 1ur) + C

Passo 5

Voltando a u=(a/b)^x e usando ln|u|=xln(a/b), obtemos
1ln(a/b)l((a/b)^x - 2xln(a/b) - (b/a)^xr) + C = (a/b)^x - (b/a)^xln(a/b) - 2x + C

Resposta

integral l(a^x-b^xr)^2a^xb^x,dx = (a/b)^x - (b/a)^xln!l(a/br) ;-; 2x ;+; C

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