Considere a função:
a) A função g(x) é contínua? Justifique sua resposta.
b) A função g(x) é diferenciável? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define a função por partes
g(x)= 5x, & x<2, 5x+20, & x>=2,
e pede para verificar (a) a continuidade de g e (b) a diferenciabilidade de g.
Passo 2
Para testar a continuidade em x=2, calculamos os limites laterais e o valor da função:
limxto2^-g(x)=5cdot2=10,
limxto2^+g(x)=5cdot2+20=30,
e
g(2)=5cdot2+20=30
Como limxto2^-g(x)=10neq30=limxto2^+g(x), não existe limxto2g(x). Logo, g é descontínua em x=2.
Passo 3
Diferenciabilidade em um ponto exige continuidade nesse ponto. Como g falha em ser contínua em x=2, não pode ser diferenciável ali. Em xneq2, cada ramo é uma função linear (5x ou 5x+20), que é diferenciável, mas globalmente g não é diferenciável no ponto de descontinuidade x=2.
Resposta
a) g não é contínua, pois os limites laterais em x=2 não coincidem.
b) g não é diferenciável em x=2 (embora seja diferenciável em cada ramo), pois já não é contínua nesse ponto.