Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
integral d x2 sin ^2 x+3 cos ^2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral dx2sin^2 x + 3cos^2 x
usando o método de substituição. O conteúdo aqui envolve transformar essa expressão em uma integral racional em tan x e depois aplicar a fórmula
integral duu^2 + a^2 = 1aarctan!l(tfracuar) + C

Passo 2

Observe que
2sin^2 x + 3cos^2 x = 2(1-cos^2 x) + 3cos^2 x = 2 + cos^2 x
Logo a integral fica
integral dx2 + cos^2 x

Passo 3

Fazemos a substituição tan x = t. Então
dx = dt1+t^2, cos^2 x = 11+t^2
Substituindo em
integral dx2 + cos^2 x obtemos
integral dt1+t^22 + 11+t^2 = integral dt,2t^2 + 3,

Passo 4

Escreva 2t^2 + 3 = 2l(t^2 + tfrac32r). Assim
integral dt2t^2 + 3 = 12integral dtt^2 + l(raiztfrac32r)^2 = 12raiztfrac32arctan!l(traiztfrac32r) + C
Como 2raiztfrac32 = raiz6, isso é
1raiz6,arctan!l(traiztfrac32r) + C

Passo 5

Voltando para x, temos t=tan x e
raiztfrac32=tfracraiz62, de modo que
traiztfrac32 = tan xtfracraiz62 = 2tan xraiz6 = raiz63,tan x
Portanto o resultado final é
1raiz6,arctan!!l(tfracraiz63tan xr) + C

Resposta

1raiz6,arctan!l(tfracraiz63tan xr) + C

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