Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
integral sin 2 x d xraiz1+cos ^2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sin 2xraiz1+cos^2 x,dx
usando método de substituição. Vamos precisar usar a identidade de ângulo duplo sin2x=2sin xcos x e depois escolher uma substituição que simplifique o radical.

Passo 2

Aplicando sin2x=2sin xcos x, reescrevemos a integral como
integral 2sin xcos xraiz1+cos^2 x,dx

Passo 3

Fazemos a substituição
u = cos x, du = -sin x,dx Longrightarrow sin x,dx = -du
Assim o integrando fica em termos de u.

Passo 4

Substituindo na integral obtém-se
integral 2sin xcos xraiz1+cos^2 x,dx = integral 2uraiz1+u^2;(sin x,dx) = integral 2uraiz1+u^2,(-du) = -2integral uraiz1+u^2,du

Passo 5

Para calcular integral uraiz1+u^2,du, note que basta ver que
ddul(raiz1+u^2r) = uraiz1+u^2
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integral uraiz1+u^2,du = raiz1+u^2 + C
Incorporando o fator -2, temos
-2integral uraiz1+u^2,du = -2raiz1+u^2 + C

Passo 6

Voltando a u=cos x, a primitiva da integral original é
-2raiz1+cos^2 x + C

Resposta

boxed-2raiz1+cos^2 x + C

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