Resolva:
a) Explique por que a regra de L’Hospital não se aplica ao problema lim x 0 x^2 sen(1x)sen(x).
b) Calcule o limite.
c) Determine o limite: lim x 0 x sen(1x)sen(x), se ele existir.

Passo 1

O enunciado pede três coisas envolvendo limites em torno de x=0:
1. Mostrar por que não dá para usar a regra de L\’Hospital em
limxto0x^2sinl(tfrac1xr)sin(x)
2. Calcular esse limite
3. Verificar existência (ou não) de
limxto0x,sinl(tfrac1xr)sin(x)
O conteúdo envolvido é: condições de aplicação de L\’Hospital, cálculo de derivadas de funções oscilatórias, e o teorema do “sanduíche” (squeeze) para limites.

Passo 2

Para usar L\’Hospital, precisaríamos que
f(x)g(x)
satisfaça indeterminação 0/0 (aqui ocorre) e que
limxto0f'(x)g'(x)
exista (finito ou infinito). Tomando
f(x)=x^2sinl(tfrac1xr), g(x)=sin(x),
temos, para xneq0,
f'(x) =2xsinl(tfrac1xr) +x^2cosl(tfrac1xr)cdotl(-tfrac1x^2r) =2xsinl(tfrac1xr)-cosl(tfrac1xr),
g'(x)=cos(x)
Então
f'(x)g'(x) =2xsinl(tfrac1xr)-cosl(tfrac1xr)cos(x)
À medida que xto0, o termo -cos(1/x) oscila entre -1 e 1 e cos(x)to1, logo f'(x)g'(x) não se aproxima de valor único. Logo a condição de existência do limite de f'/g' falha, impedindo o uso de L\’Hospital.

Passo 3

Para
L=limxto0x^2sinl(tfrac1xr)sin(x),
observe que sin(1/x) está sempre em [-1,1]. Então
-tfracx^2|sin(x)|<= x^2sinl(tfrac1xr)sin(x) <= tfracx^2|sin(x)|
Para x pequeno, sin(x)sim x e |sin(x)|>= C|x| para alguma C>0. Mais diretamente,
|x^2sinl(tfrac1xr)sin(x)| =|x|;|sin(1/x)||sin(x)/x| <= |x||sin(x)/x|,
e como limxto0sin(x)x=1, temos
l|x^2sin(1/x)sin(x)r|<= 2|x| para x suficientemente pequeno. Pelo teorema do sanduíche, L=0.

Passo 4

Analise
M=limxto0x,sinl(tfrac1xr)sin(x)
Reescreva
x,sinl(tfrac1xr)sin(x) =sinl(tfrac1xr);xsin(x) =sinl(tfrac1xr);1sin(x)/x
Como sin(x)/xto1, o comportamento do quociente é o mesmo de sin(1/x) quando xto0. Mas sin(1/x) não tem limite (oscila entre -1 e 1). Logo M não existe.

Resposta

(a) A regra de L\’Hospital exige que limxto0f'(x)/g'(x) exista, mas aqui
f'(x)g'(x)
oscila por causa de cos(1/x), então não se aplica.
(b) 0.
(c) Não existe.

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