Resolva:
a) Explique por que a regra de L’Hospital não se aplica ao problema .
b) Calcule o limite.
c) Determine o limite: , se ele existir.
Passo 1
O enunciado pede três coisas envolvendo limites em torno de : . Mostrar por que não dá para usar a regra de L\’Hospital em
. Calcular esse limite . Verificar existência (ou não) de
O conteúdo envolvido é: condições de aplicação de L\’Hospital, cálculo de derivadas de funções oscilatórias, e o teorema do “sanduíche” (squeeze) para limites.
Passo 2
Para usar L\’Hospital, precisaríamos que
satisfaça indeterminação (aqui ocorre) e que
exista (finito ou infinito). Tomando
temos, para ,
Então
À medida que , o termo oscila entre e e , logo não se aproxima de valor único. Logo a condição de existência do limite de falha, impedindo o uso de L\’Hospital.
Passo 3
Para
observe que está sempre em . Então
Para pequeno, e para alguma . Mais diretamente,
e como limxto0sin(x)x=1, temos l|x^2sin(1/x)sin(x)r|<= 2|x| para x suficientemente pequeno. Pelo teorema do sanduíche, L=0.
Como sin(x)/xto1, o comportamento do quociente é o mesmo de sin(1/x) quando xto0. Mas sin(1/x) não tem limite (oscila entre -1 e 1). Logo M não existe.
Resposta
(a) A regra de L\’Hospital exige que limxto0f'(x)/g'(x) exista, mas aqui f'(x)g'(x)
oscila por causa de cos(1/x), então não se aplica.
(b) 0.
(c) Não existe.