Calcule as integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- Integrando:
. - Limites de integração:
até .
O objetivo é encontrar o valor numérico desta integral.
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o denominador para tentar decompor em frações simples. Vamos fatorar a expressão quadrática
.
Procuramos fatores lineares do tipo
. Observa-se que
ou seja, o denominador fatora como
.
Portanto podemos reescrever a integral como
Passo 3
Agora usamos o método de frações parciais: escrevemos
onde [A) e
são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Vamos resolver para
e
. Expandindo:
Como a igualdade vale para todo
, os coeficientes de
e o termo constante devem coincidir:
Da primeira equação
.
Conclusão da decomposição:
Passo 4
Substituindo na integral, temos
Agora calculamos cada integral simples separadamente.
Passo 5
Lembrete útil (fórmula): para constantes
e
,
Aplicando essa fórmula:
- Para
: aqui , então
- Para
: aqui , então
Somando as antiderivadas, uma primitiva é
Passo 6
Agora avaliamos a primitiva nos limites
e
:
Calcule
:
pois
e
, então os módulos não afetam.
Calcule
:
Portanto