Calcule as integrais
(1,5 \mathrm{pts}) \int_{0}^{1} \frac{2}{2 x^{2}+3 x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x^{2}+3 x+1}\,d x.
Informações dadas:
  • Integrando: \dfrac{2}{2x^{2}+3x+1}.
  • Limites de integração: x=0 até x=1.
    O objetivo é encontrar o valor numérico desta integral.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador para tentar decompor em frações simples. Vamos fatorar a expressão quadrática 2x^{2}+3x+1.
Procuramos fatores lineares do tipo (ax+b)(cx+d). Observa-se que
(2x+1)(x+1)=2x^{2}+2x+x+1=2x^{2}+3x+1,
ou seja, o denominador fatora como (2x+1)(x+1).
Portanto podemos reescrever a integral como
\int_{0}^{1} \frac{2}{(2x+1)(x+1)}\,d x.

Passo 3

Agora usamos o método de frações parciais: escrevemos
\frac{2}{(2x+1)(x+1)}=\frac{A}{2x+1}+\frac{B}{x+1},
onde [A) e B são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por (2x+1)(x+1) obtemos a identidade
2 = A(x+1)+B(2x+1).
Vamos resolver para A e B. Expandindo:
2 = (A+2B)x + (A+B).
Como a igualdade vale para todo x, os coeficientes de x e o termo constante devem coincidir:
\begin{cases} A+2B = 0,\\[4pt] A+B = 2. \end{cases}
Da primeira equação A=-2B\]. Substituindo na segunda: \[-2B+B=2 \quad\Rightarrow\quad -B=2 \quad\Rightarrow\quad B=-2.\] Então \(A=-2B=4.
Conclusão da decomposição:
\frac{2}{(2x+1)(x+1)}=\frac{4}{2x+1}-\frac{2}{x+1}.]

Passo 4

Substituindo na integral, temos
\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x^{2}+3 x+1}\,d x = \int_{0}^{1}\left(\frac{4}{2x+1}-\frac{2}{x+1}\right)\,d x = 4\int_{0}^{1}\frac{1}{2x+1}\,d x -2\int_{0}^{1}\frac{1}{x+1}\,d x.
Agora calculamos cada integral simples separadamente.

Passo 5

Lembrete útil (fórmula): para constantes a\neq0 e b,
\int \frac{1}{a x+b}\,d x=\frac{1}{a}\ln\!\bigl|a x+b\bigr|+C.
Aplicando essa fórmula:
  1. Para \displaystyle 4\int_{0}^{1}\frac{1}{2x+1}\,d x: aqui a=2, então
4\int\frac{1}{2x+1}\,d x =4\cdot\frac{1}{2}\ln\!\bigl|2x+1\bigr| =2\ln\!\bigl|2x+1\bigr|.
  1. Para \displaystyle -2\int_{0}^{1}\frac{1}{x+1}\,d x: aqui a=1, então
-2\int\frac{1}{x+1}\,d x =-2\ln\!\bigl|x+1\bigr|.
Somando as antiderivadas, uma primitiva é
F(x)=2\ln\!\bigl|2x+1\bigr|-2\ln\!\bigl|x+1\bigr| =2\ln\!\left(\frac{|2x+1|}{|x+1|}\right).

Passo 6

Agora avaliamos a primitiva nos limites 0 e 1:
\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x^{2}+3 x+1}\,d x =F(1)-F(0).
Calcule F(1):
F(1)=2\ln\!\left(\frac{|2\cdot1+1|}{|1+1|}\right) =2\ln\!\left(\frac{3}{2}\right),
pois 2\cdot1+1=3>0 e 1+1=2>0, então os módulos não afetam.
Calcule F(0):
F(0)=2\ln\!\left(\frac{|2\cdot0+1|}{|0+1|}\right) =2\ln\!\left(\frac{1}{1}\right)=2\ln(1)=0.
Portanto
\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x^{2}+3 x+1}\,d x =2\ln\!\left(\frac{3}{2}\right)-0 =2\ln\!\left(\frac{3}{2}\right).

Resposta

2\ln\!\left(\dfrac{3}{2}\right)

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